Questão 1-O tempo médio de atendimento em uma agência lotérica está sendo analisado por técnicos. Uma amostra aleatória de 40 clientes foi sistematicamente monitorada em relação ao tempo que levavam para serem atendidos, obtendo-se as seguintes estatísticas: tempo médio de atendimento de 195 segundos e desvio padrão de 15 segundos.
a) Faça uma estimação por intervalo para o tempo médio de utilização para a população de clientes da agência lotérica, utilizando um nível de confiança de 95 \%.
b) Interprete o resultado do intervalo de confiança.
c) O tamanho da amostra utilizada seria suficiente se fosse exigido um erro na estimação de até 10 segundos?
d) Se fosse exigido um tempo máximo de 3 minutos para o atendimento, com base nos resultados das letras a e b a agência está cumprindo o requisito? Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado traz uma amostra de tamanho n=40 com tempo médio de atendimento \bar x = 195 s e desvio padrão amostral s=15 s. Vamos estimar o verdadeiro tempo médio da população por meio de intervalo de confiança, verificar se a amostra é suficiente para erro máximo de 10 s e comparar o intervalo com o requisito de 180 s.

Passo 2

Para construir o intervalo de confiança de 95 %, usamos a fórmula
\bar x \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}
onde \alpha=0,05 e t_{0,025,\,39}\approx2,023. O erro máximo é
E = 2,023 \times \frac{15}{\sqrt{40}} =2,023\times2,371\approx4,80\text{ s}.
Portanto o intervalo de confiança é
195 - 4,80 = 190,20\text{ s} \quad\text{até}\quad 195 + 4,80 = 199,80\text{ s}.é
Interpretando esse intervalo: estamos 95 % confiantes de que o verdadeiro tempo médio de atendimento da população está entre 190,20 s e 199,80 s. Em outras palavras, se repetíssemos muitas vezes esse processo, 95 % dos intervalos assim construídos conteriam o valor real do tempo médio.

Passo 3

Para exigir erro máximo E_{\max}=10 s, a fórmula aproximada (usando t\approx2) dá
n \approx \Bigl(\frac{2\times s}{E_{\max}}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{2\times15}{10}\Bigr)^{2} =(3)^{2}=9.
Como a amostra atual tem n=40\gg9, ela é mais do que suficiente para garantir erro de até 10 s.

Passo 4

O requisito de 3 minutos equivale a 180 s. Como todo o intervalo de confiança [190,20;199,80] está acima de 180 s, podemos concluir que o tempo médio de atendimento da agência, com 95 % de confiança, excede o limite de 3 minutos. Logo, ela não está cumprindo o requisito.

Resposta

(a) \,[190,20\text{ s};\,199,80\text{ s}].
(b) Estamos 95 % confiantes de que o verdadeiro tempo médio populacional está entre 190,20 s e 199,80 s.
(c) Sim, bastaria ter cerca de n\approx9 para erro de até 10 s, e usamos n=40.
(d) Não, pois mesmo o limite inferior do intervalo (190,20 s) é maior que 180 s, indicando que o atendimento médio supera 3 minutos.

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