VERIFIQUE, CADA EXEMPLO ABAIXO E JUSTIFICA QUAIS REPRESENTAM PROCESSOS ESTOCÁSTICOS:
  1. Número de usuários em uma fila de banco em um determinado instante Espaço discreto e tempo continuo.
  2. Índice pluviométrico em cada dia do més - estado continuo e tempo discreto.
  3. Número de dias que choveram em cada més do ano - estado discreto e tempo discreto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada um dos três exemplos dados, se eles configuram de fato um processo estocástico, além de identificar o tipo de espaço de estados (discreto ou contínuo) e o tipo de conjunto de indexação temporal (discreto ou contínuo). O conteúdo aqui é o conceito de processo estocástico, que é uma família de variáveis aleatórias indexadas por um conjunto de tempos.

Passo 2

Um processo estocástico é definido como
\{X(t)\}_{t\in T}
onde cada X(t) é uma variável aleatória e T é o conjunto de índices de tempo.
  • Se T é finito ou enumerável (por exemplo \{1,2,3,\dots\}), dizemos que o tempo é discreto.
  • Se T é um intervalo real ou parte dele (por exemplo [0,\infty)), o tempo é contínuo.
  • O espaço de estados é o conjunto de valores possíveis de X(t): se são números inteiros, é discreto; se são valores em \mathbb{R}, é contínuo.

Passo 3

Exemplo 1: número de usuários em uma fila de banco em um instante t.
Definimos
X(t) = \text{número de usuários na fila no instante }t.úá
– Cada X(t) é uma variável aleatória que pode assumir valores em \{0,1,2,\dots\}, logo o espaço de estados é discreto.
– O índice t varia em \mathbb{R}_{\ge0} (ou seja, pode ser qualquer instante), logo o tempo é contínuo.
Portanto, \{X(t)\}_{t\ge0} é de fato um processo estocástico com estados discretos e tempo contínuo.

Passo 4

Exemplo 2: índice pluviométrico em cada dia do mês.
Definimos
Y_n = \text{quantidade de chuva no dia }n.
– Cada Y_n é uma variável aleatória que mede um volume (por exemplo em mm), logo assume valores em \mathbb{R}_{\ge0}, de maneira contínua.
– O índice n percorre os dias 1,2,\dots,31, que é um conjunto finito ou enumerável, logo o tempo é discreto.
Dessa forma, \{Y_n\}_{n=1}^{31} é um processo estocástico com estados contínuos e tempo discreto.

Passo 5

Exemplo 3: número de dias que choveram em cada mês do ano.
Definimos
Z_m = \text{número de dias com chuva no mês }m.úê
– Cada Z_m é uma variável aleatória que conta dias, logo assume valores em \{0,1,\dots,31\}, ou seja, espaço de estados discreto.
– O índice m varia sobre os meses 1,2,\dots,12, que é um conjunto finito (enumerável), portanto o tempo é discreto.
Logo, \{Z_m\}_{m=1}^{12} é um processo estocástico com estados discretos e tempo discreto.

Resposta

  1. É processo estocástico com espaço de estados discreto e tempo contínuo.
  2. É processo estocástico com espaço de estados contínuo e tempo discreto.
  3. É processo estocástico com espaço de estados discreto e tempo discreto.

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