[2 Pontos] Calcule a derivada de cada função abaixo:
f(x)=2^{x}+\sqrt[3]{2 x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=2^{x}+\sqrt[3]{2x^{2}-1}.
O conteúdo envolvido é a diferenciação de uma função exponencial de base fixa e de uma função composta com radical de índice 3. Vamos usar as regras:
  1. Derivada de a^{x} é a^{x}\ln(a).
  2. Regra da cadeia para \bigl(g(x)\bigr)^{1/3}.

Passo 2

Derivando o primeiro termo 2^{x}:
Pela regra da exponencial,
\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr)=2^{x}\ln(2).

Passo 3

Derivando o segundo termo \sqrt[3]{2x^{2}-1}=(2x^{2}-1)^{1/3}:
Aplicamos a regra da cadeia. Se h(x)=(u(x))^{1/3} então
h'(x)=\frac{1}{3}\bigl(u(x)\bigr)^{-2/3}\cdot u'(x).
Aqui u(x)=2x^{2}-1 e u'(x)=4x. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl((2x^{2}-1)^{1/3}\bigr) =\frac{1}{3}(2x^{2}-1)^{-2/3}\cdot4x =\frac{4x}{3\,(2x^{2}-1)^{2/3}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=2^{x}\ln(2)+\frac{4x}{3\,(2x^{2}-1)^{2/3}}.

Resposta

f'(x)=2^{x}\ln(2)+\frac{4x}{3\,(2x^{2}-1)^{2/3}}.

Exercícios relacionados