[2 Pontos] Calcule o limite, se existir. Caso não exista, explique por quê.
[1 Ponto] \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr)^{x}.
Este tipo de expressão (1+\text{pequena quantidade})^{\text{grande}} é uma indeterminação do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar logaritmo e exponencial.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr)^{x}.
Como a função exponencial é contínua, temos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \ln\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr)^{x} = \lim_{x\to+\infty} x\,\ln\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr).

Passo 3

Observe que
\frac{x+3}{x+2} = 1 + \frac{1}{x+2},
então
x\,\ln\Bigl(\frac{x+3}{x+2}\Bigr) = x\,\ln\Bigl(1 + \frac{1}{x+2}\Bigr).
Use o equivalente \ln(1+u)\sim u quando u\to0. Aqui u=\frac{1}{x+2}\to0, logo
\ln\Bigl(1 + \frac{1}{x+2}\Bigr)\sim \frac{1}{x+2},
e
x\,\ln\Bigl(1 + \frac{1}{x+2}\Bigr) \sim x\cdot\frac{1}{x+2} \;\xrightarrow[x\to\infty]{}\;1.
Portanto \ln L = 1.

Passo 4

Como \ln L=1, temos
L = e^{\ln L} = e^1 = e.

Resposta

e

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