[2, 0 pontos] Calcule integral duplaS z d S, onde d S é a superfície cujo lado S1 é dado pelo cilindro x^2+y^2=1, cujo fundo S2 é o círculo x^2+y^2 <= 1 no plano z=0, e cujo topo S3 é a parte do plano z=1+x que está acima de S2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS z , dS, onde S é formada por três partes:
  1. S₁: O cilindro x^2 + y^2 = 1,
  2. S₂: O círculo x^2 + y^2 <= 1 no plano z = 0,
  3. S₃: A parte do plano z = 1 + x que está acima de S₂.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície e como calcular em diferentes partes de uma superfície composta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integral duplaS z , dS. Essa é uma integral de superfície onde estamos “somando” os valores de z em cada ponto da superfície S, ponderados pela área infinitesimal dS.
Precisamos calcular essa integral em cada uma das três partes que compõem S e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando para S₁ (o cilindro x^2 + y^2 = 1):
No cilindro, z varia de 0 até 1 + x. Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas:
  • x = costheta
  • y = sintheta
  • z = z, onde z varia de 0 a 1 + costheta
A área infinitesimal em coordenadas cilíndricas é dS = r , dz , dtheta. Aqui, r = 1 (já que x^2 + y^2 = 1).
Então, a integral sobre S₁ fica:
integral duplaS1 z , dS = integral0^2pi integral0^1 + costheta z , dz , dtheta
Integrando em relação a z:
integral0^1 + costheta z , dz = [ z^22 ]0^1 + costheta = (1 + costheta)^22
Agora, a integral se torna:
integral duplaS1 z , dS = 12 integral0^2pi (1 + 2costheta + cos^2theta) , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi costheta , dtheta = 0 e integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Então:
integral duplaS1 z , dS = 12 ( 2pi + 0 + pi ) = 3pi2

Passo 4

Calculando para S₂ (o círculo no plano z = 0):
No plano z = 0, o valor de z é sempre zero. Então, a integral fica:
integral duplaS2 z , dS = integral duplaS2 0 , dS = 0

Passo 5

Calculando para S₃ (a parte do plano z = 1 + x acima de S₂):
Vamos parametrizar o plano. Como z = 1 + x, podemos usar coordenadas cartesianas:
  • x varia de -1 a 1,
  • y varia de -raiz1 - x^2 a raiz1 - x^2.
A área infinitesimal no plano z = 1 + x é dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy.
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = 1 e partial zpartial y = 0
Então:
dS = raiz1 + 1^2 + 0^2 , dx , dy = raiz2 , dx , dy
A integral sobre S₃ fica:
integral duplaS3 z , dS = raiz2 integral-1^1 integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (1 + x) , dy , dx
Integrando em relação a y:
integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (1 + x) , dy = (1 + x) cdot 2raiz1 - x^2
Então, a integral se torna:
integral duplaS3 z , dS = 2raiz2 integral-1^1 (1 + x) raiz1 - x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos usar substituição trigonométrica ou reconhecer que a função é par:
integral-1^1 (1 + x) raiz1 - x^2 , dx = 2 integral0^1 (1 + x) raiz1 - x^2 , dx
Resolvendo isso, encontramos:
integral duplaS3 z , dS = 2raiz2 cdot ( pi2 + 23 ) = raiz2 ( pi + 43 )

Resposta

Somando as três partes, a integral total é:
integral duplaS z , dS = 3pi2 + 0 + raiz2 ( pi + 43 ) = 3pi2 + raiz2pi + 4raiz23
Então, a resposta final é:
integral duplaS z , dS = 3pi2 + raiz2pi + 4raiz23

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