[2, 0 pontos] Calcule
, onde
é a superfície cujo lado
é dado pelo cilindro
, cujo fundo
é o círculo
no plano
, e cujo topo
é a parte do plano
que está acima de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície
, onde
é formada por três partes:
- S₁: O cilindro
, - S₂: O círculo
no plano , - S₃: A parte do plano
que está acima de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de superfície e como calcular em diferentes partes de uma superfície composta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é uma integral de superfície onde estamos “somando” os valores de
em cada ponto da superfície
, ponderados pela área infinitesimal
.
Precisamos calcular essa integral em cada uma das três partes que compõem
e depois somar os resultados.
Passo 3
Calculando para S₁ (o cilindro
):
No cilindro,
varia de 0 até
. Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas:
-
-
-
, onde varia de 0 a
A área infinitesimal em coordenadas cilíndricas é
. Aqui,
(já que
).
Então, a integral sobre S₁ fica:
Integrando em relação a
:
Agora, a integral se torna:
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Calculando para S₂ (o círculo no plano
):
No plano
, o valor de
é sempre zero. Então, a integral fica:
Passo 5
Calculando para S₃ (a parte do plano
acima de
):
Vamos parametrizar o plano. Como
, podemos usar coordenadas cartesianas:
-
varia de a , -
varia de a .
A área infinitesimal no plano
é
.
Calculando as derivadas parciais:
Então:
A integral sobre S₃ fica:
Integrando em relação a
:
Então, a integral se torna:
Para resolver essa integral, podemos usar substituição trigonométrica ou reconhecer que a função é par:
Resolvendo isso, encontramos:
Resposta
Somando as três partes, a integral total é:
Então, a resposta final é: