[2,0 pontos] (1) Calcule a integral de linha \int_{c} f d s, onde f(x, y)=x^{2} y \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} e c é o segmento de reta orientado da origem do plano cartesiano X Y para o ponto (3,4).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que temos e do que nos pediram):
  • A função é f(x,y)=x^{2}y\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A curva c é o segmento de reta orientado do ponto (0,0) até o ponto (3,4).
  • O que é pedido: calcular a integral de linha escalar
\int_{c} f\,ds.
Nenhuma outra informação ou figura foi fornecida.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que transforma a integral de linha escalar numa integral em uma variável (explicando cada símbolo):
  • Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], é uma parametrização da curva c, então a integral de linha de uma função escalar f ao longo de c é
\int_{c} f\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\, \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \,dt.
  • Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor da parametrização; \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (o comprimento do vetor derivada); ds é o elemento de comprimento de arco e corresponde a \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert dt.
  • Em palavras: substitui-se x e y por suas expressões em t, multiplica-se pela velocidade da curva e integra-se no intervalo de t que percorre a curva.

Passo 3

Escolher uma parametrização simples do segmento de reta do (0,0) até (3,4). A parametrização linear mais direta é
\mathbf{r}(t)=(3t,4t),\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: \mathbf{r}(0)=(0,0) e \mathbf{r}(1)=(3,4), então está correta. Agora calculo a derivada:
\mathbf{r}'(t)=(3,4).
O módulo (velocidade) é constante:
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Substituir x=3t e y=4t em f e simplificar passo a passo:
  • Primeiro calcule x^{2}y:
x^{2}y=(3t)^{2}\cdot(4t)=9t^{2}\cdot 4t=36t^{3}.
  • Em seguida calcule \sqrt{x^{2}+y^{2}}:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(3t)^{2}+(4t)^{2}}=\sqrt{9t^{2}+16t^{2}}=\sqrt{25t^{2}}=5|t|.
Como t\in[0,1] temos |t|=t, portanto \sqrt{x^{2}+y^{2}}=5t.
  • Multiplicando os dois resultados:
f\big(x(t),y(t)\big)=36t^{3}\cdot 5t = 180 t^{4}.

Passo 5

Montar o integrando da fórmula da Passo 2: é f(\mathbf{r}(t))\cdot\big\lVert\mathbf{r}'(t)\big\rVert. Substituindo os valores encontrados:
f(\mathbf{r}(t))\big\lVert\mathbf{r}'(t)\big\rVert = 180 t^{4}\cdot 5 = 900 t^{4}.

Passo 6

Agora integral no intervalo t\in[0,1]:
\int_{c} f\,ds = \int_{0}^{1} 900 t^{4}\,dt.
Calcule a integral de potência passo a passo: a primitiva de t^{4} é \dfrac{t^{5}}{5}, logo
\int_{0}^{1} 900 t^{4}\,dt = 900\left[\dfrac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = 900\cdot\dfrac{1^{5}-0^{5}}{5} = 900\cdot\dfrac{1}{5}=180.

Passo 7

Breto rápido de interpretação e dica para prova (curto e prático):
  • O procedimento padrão é sempre parametrizar a curva, calcular \mathbf{r}'(t), substituir em f e multiplicar por \big\lVert\mathbf{r}'(t)\big\rVert. Para segmentos de reta costuma-se usar a parametrização linear \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0) com t\in[0,1] — isso evita cálculo complicado do módulo da derivada porque a velocidade é constante.
  • Não esqueça de verificar o sinal do |t| ao tirar raízes quadradas; no caso de parâmetros positivos isso simplifica bastante.

Resposta

180

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