[2,0 pontos] (1) Calcule a integral de linha \int_{c} f d s, onde f(x, y)=x^{2} y \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} e c é o segmento de reta orientado da origem do plano cartesiano X Y para o ponto (3,4).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que temos e do que nos pediram):
A função é f(x,y)=x^{2}y\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A curva c é o segmento de reta orientado do ponto (0,0) até o ponto (3,4).
O que é pedido: calcular a integral de linha escalar
\int_{c} f\,ds.
Nenhuma outra informação ou figura foi fornecida.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que transforma a integral de linha escalar numa integral em uma variável (explicando cada símbolo):
Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], é uma parametrização da curva c, então a integral de linha de uma função escalar f ao longo de c é
Aqui \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)) é a derivada vetor da parametrização; \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a velocidade (o comprimento do vetor derivada); ds é o elemento de comprimento de arco e corresponde a \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert dt.
Em palavras: substitui-se x e y por suas expressões em t, multiplica-se pela velocidade da curva e integra-se no intervalo de t que percorre a curva.
Passo 3
Escolher uma parametrização simples do segmento de reta do (0,0) até (3,4). A parametrização linear mais direta é
\mathbf{r}(t)=(3t,4t),\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: \mathbf{r}(0)=(0,0) e \mathbf{r}(1)=(3,4), então está correta. Agora calculo a derivada:
Breto rápido de interpretação e dica para prova (curto e prático):
O procedimento padrão é sempre parametrizar a curva, calcular \mathbf{r}'(t), substituir em f e multiplicar por \big\lVert\mathbf{r}'(t)\big\rVert. Para segmentos de reta costuma-se usar a parametrização linear \mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+t(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0) com t\in[0,1] — isso evita cálculo complicado do módulo da derivada porque a velocidade é constante.
Não esqueça de verificar o sinal do |t| ao tirar raízes quadradas; no caso de parâmetros positivos isso simplifica bastante.