(Questão 05)

Em um sistema de automação industrial, a ponta de uma ferramenta segue a trajetória;
r(t)=\left\langle t, t^{2}, 3 t\right\rangle, \text { com } t \in[0,2] .
Determine a equação do plano osculador da curva no ponto t=1.
r^{\prime}(t)=\langle 1,2 t, 3\rangle
r^{\prime \prime}(t)=\langle 0,2,0\rangle
r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)=\langle-6,0,2\rangle
\left|r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)\right|=2 \sqrt{10}
\left[r^{\prime}(t) \times r^{\prime \prime}(t)\right]_{1}=\frac{1}{\sqrt{10}}\langle-3,0,1\rangle
Equação Plano Osculador: z=3 x
OBS.: Podería utilizar como vetor diretor do plano \langle-6,0,2\rangle, i.e., nāo necessariamente o normalizado.

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica da ferramenta
r(t)=\langle t,\; t^{2},\; 3t\rangle,\qquad t\in[0,2],
e pede: determinar a equação do plano osculador da curva no ponto correspondente a t=1.
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
  • A posição no ponto t=1 é r(1).
  • As derivadas fornecidas são r'(t)=\langle 1,\;2t,\;3\rangle,\qquad r''(t)=\langle 0,\;2,\;0\rangle.
  • A definição chave: o plano osculador em um ponto é o plano que contém os vetores r'(t) e r''(t) avaliados nesse ponto. Logo, um vetor normal ao plano osculador é dado pelo produto vetorial r'(t)\times r''(t).
Nada mais é pedido além da equação desse plano em t=1.

Passo 2

Calcular o ponto da curva em t=1 e avaliar as derivadas nesse ponto.
  • Ponto:
    r(1)=\langle 1,\;1,\;3\rangle.
    Explicando: basta substituir t=1 em cada componente de r(t).
  • Tangente (vetor velocidade) em t=1:
    r'(1)=\langle 1,\;2\cdot 1,\;3\rangle=\langle 1,\;2,\;3\rangle.
    Aula curta: r'(t) aponta na direção instantânea da curva; é o vetor tangente (não necessariamente unitário).
  • Segunda derivada (vetor aceleração) em t=1:
    r''(1)=\langle 0,\;2,\;0\rangle.
    Aula curta: r''(t) indica a curvatura/variação da tangente; no plano osculador entram tanto r'(1) quanto r''(1).

Passo 3

Encontrar um vetor normal ao plano osculador: calcular o produto vetorial r'(1)\times r''(1).
Explicando o produto vetorial: para dois vetores \langle a_1,a_2,a_3\rangle e \langle b_1,b_2,b_3\rangle, o produto vetorial é
\langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\rangle,
que é um vetor perpendicular aos dois.
Aplicando a fórmula com r'(1)=\langle 1,2,3\rangle e r''(1)=\langle 0,2,0\rangle:
r'(1)\times r''(1)=\langle 2\cdot 0 - 3\cdot 2,\; 3\cdot 0 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 2 - 2\cdot 0\rangle=\langle -6,\;0,\;2\rangle.
Comentário didático: não é necessário normalizar esse vetor; qualquer múltiplo não-nulo serve como normal do plano.

Passo 4

Montar a equação do plano usando o vetor normal encontrado.
Seja \mathbf{n}=\langle -6,0,2\rangle o vetor normal e P_0=r(1)=\langle 1,1,3\rangle o ponto no plano. A equação do plano em forma vetorial/escalar é
\mathbf{n}\cdot\big\langle x-1,\; y-1,\; z-3\big\rangle = 0.
Fazendo o produto escalar:
-6(x-1)+0\cdot (y-1)+2(z-3)=0.
Desenvolvendo os parênteses:
-6x+6+2z-6=0 \quad\Longrightarrow\quad -6x+2z=0.
Dividindo ambos os lados por 2:
-3x+z=0.
Isolando z:
z=3x.
Interpretação clara: o plano osculador é a reta em que z é três vezes x, sem restrição em y — isto é, o plano é paralelo ao eixo y.

Passo 5

Verificação rápida (controle de sanidade): confirmar que tanto r'(1) quanto r''(1) estão no plano, ou seja, que \mathbf{n} é ortogonal a eles.
Calcule \mathbf{n}\cdot r'(1):
\langle -6,0,2\rangle\cdot\langle 1,2,3\rangle = -6\cdot 1 + 0\cdot 2 + 2\cdot 3 = -6 + 6 = 0.
Calcule \mathbf{n}\cdot r''(1):
\langle -6,0,2\rangle\cdot\langle 0,2,0\rangle = -6\cdot 0 + 0\cdot 2 + 2\cdot 0 = 0.
Assim, \mathbf{n} é ortogonal a ambos, confirmando que o plano com normal \mathbf{n} contém r'(1) e r''(1). Boa notícia: nossa equação está correta.

Resposta

z=3x

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