(Questão 05)
Em um sistema de automação industrial, a ponta de uma ferramenta segue a trajetória;
Determine a equação do plano osculador da curva no ponto
.
Equação Plano Osculador:
OBS.: Podería utilizar como vetor diretor do plano
, i.e., nāo necessariamente o normalizado.
Equação Plano Osculador:
OBS.: Podería utilizar como vetor diretor do plano
Passo 1
O enunciado fornece a curva paramétrica da ferramenta
e pede: determinar a equação do plano osculador da curva no ponto correspondente a
.
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
- A posição no ponto
é . - As derivadas fornecidas são
- A definição chave: o plano osculador em um ponto é o plano que contém os vetores
e avaliados nesse ponto. Logo, um vetor normal ao plano osculador é dado pelo produto vetorial .
Nada mais é pedido além da equação desse plano em
.
Passo 2
Calcular o ponto da curva em
e avaliar as derivadas nesse ponto.
-
Ponto:Explicando: basta substituir
em cada componente de . -
Tangente (vetor velocidade) em
: Aula curta:aponta na direção instantânea da curva; é o vetor tangente (não necessariamente unitário). -
Segunda derivada (vetor aceleração) em
: Aula curta:indica a curvatura/variação da tangente; no plano osculador entram tanto quanto .
Passo 3
Encontrar um vetor normal ao plano osculador: calcular o produto vetorial
.
Explicando o produto vetorial: para dois vetores
e
, o produto vetorial é
que é um vetor perpendicular aos dois.
Aplicando a fórmula com
e
:
Comentário didático: não é necessário normalizar esse vetor; qualquer múltiplo não-nulo serve como normal do plano.
Passo 4
Montar a equação do plano usando o vetor normal encontrado.
Seja
o vetor normal e
o ponto no plano. A equação do plano em forma vetorial/escalar é
Fazendo o produto escalar:
Desenvolvendo os parênteses:
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Interpretação clara: o plano osculador é a reta em que
é três vezes
, sem restrição em
— isto é, o plano é paralelo ao eixo
.
Passo 5
Verificação rápida (controle de sanidade): confirmar que tanto
quanto
estão no plano, ou seja, que
é ortogonal a eles.
Calcule
:
Calcule
:
Assim,
é ortogonal a ambos, confirmando que o plano com normal
contém
e
. Boa notícia: nossa equação está correta.