[2,0 pontos] (2) Calcule a integral de linha
, onde
e c é a curva parametrizada por
.
Passo 1
O enunciado dá:
- O campo vetorial
. - A curva parametrizada
, com .
O que é pedido:
- Calcular a integral de linha
, onde é a curva dada por .
Observação importante (dados fornecidos): a componente
de
tem divisão por
. No ponto
da curva temos
, portanto
não está formalmente definida naquele ponto; entretanto, ao compor
com
essa fração simplifica e tem limite existente. A resolução segue avaliando a composição
e verificando que o integrando resultante é contínuo em
, o que torna a integral bem definida.
Passo 2
Regra para transformar integral de linha em integral em
: se
param. a curva para
, então
Aqui
e
. Primeiro calculemos a derivada
. Como
, derivando componente a componente obtemos
O elemento
é
.
Passo 3
Agora substituímos a parametrização na expressão de
. Tomando
em
, obtemos para
Sobre o ponto
: a expressão
não está definida na forma original, mas seu limite quando
é
. Assim a composição
estende-se continuamente para
como
. Portanto podemos usar
para todo
(entendendo a extensão pelo limite em
).
Passo 4
Calcule o produto escalar
. Temos
O produto escalar é soma dos produtos das componentes correspondentes:
Agrupando fatores semelhantes:
Portanto o integrando é
, que é contínuo em
.
Passo 5
Agora calculamos a integral definida:
Para integrar
usamos integração por partes ou a primitiva conhecida. Uma primitiva de
é
, pois
Assim uma primitiva de
é
. Aplicando os limites:
Calcule os termos:
Portanto
Resposta
4