[2,0 pontos] (2) Calcule a integral de linha \int_{c} \vec{F} \cdot d r, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(\frac{y}{z}, x, x z\right) e c é a curva parametrizada por r(t)=\left(e^{t}, t^{2}, t\right), \quad 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(\dfrac{y}{z},x,xz\right).
  • A curva parametrizada r(t)=\left(e^{t},t^{2},t\right), com 0\le t\le1.
O que é pedido:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle\int_{c}\vec{F}\cdot d r, onde c é a curva dada por r(t).
Observação importante (dados fornecidos): a componente \dfrac{y}{z} de \vec{F} tem divisão por z. No ponto t=0 da curva temos z(0)=0, portanto \vec{F} não está formalmente definida naquele ponto; entretanto, ao compor \vec{F} com r(t) essa fração simplifica e tem limite existente. A resolução segue avaliando a composição \vec{F}(r(t)) e verificando que o integrando resultante é contínuo em [0,1], o que torna a integral bem definida.

Passo 2

Regra para transformar integral de linha em integral em t: se r(t) param. a curva para a\le t\le b, então
\int_{c}\vec{F}\cdot d r=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,dt.
Aqui a=0 e b=1. Primeiro calculemos a derivada r'(t). Como r(t)=\big(e^{t},t^{2},t\big), derivando componente a componente obtemos
r'(t)=\big(e^{t},\,2t,\,1\big).
O elemento d r é r'(t)\,dt.

Passo 3

Agora substituímos a parametrização na expressão de \vec{F}. Tomando (x,y,z)=\big(e^{t},t^{2},t\big) em \vec{F}(x,y,z)=\left(\dfrac{y}{z},x,xz\right), obtemos para t\neq0
\vec{F}\big(r(t)\big)=\left(\dfrac{t^{2}}{t},\,e^{t},\,e^{t}\,t\right)=\big(t,\,e^{t},\,t e^{t}\big).
Sobre o ponto t=0: a expressão \dfrac{t^{2}}{t} não está definida na forma original, mas seu limite quando t\to0 é 0. Assim a composição \vec{F}(r(t)) estende-se continuamente para t=0 como (0,1,0). Portanto podemos usar \vec{F}(r(t))=\big(t,\,e^{t},\,t e^{t}\big) para todo t\in[0,1] (entendendo a extensão pelo limite em t=0).

Passo 4

Calcule o produto escalar \vec{F}\big(r(t)\big)\cdot r'(t). Temos
\vec{F}\big(r(t)\big)=\big(t,\,e^{t},\,t e^{t}\big), \qquad r'(t)=\big(e^{t},\,2t,\,1\big).
O produto escalar é soma dos produtos das componentes correspondentes:
\vec{F}\big(r(t)\big)\cdot r'(t) = t\cdot e^{t} + e^{t}\cdot 2t + (t e^{t})\cdot 1.
Agrupando fatores semelhantes:
t e^{t} + 2t e^{t} + t e^{t} = 4t e^{t}.
Portanto o integrando é 4t e^{t}, que é contínuo em [0,1].

Passo 5

Agora calculamos a integral definida:
\int_{c}\vec{F}\cdot d r=\int_{0}^{1}4t e^{t}\,dt.
Para integrar \int t e^{t}\,dt usamos integração por partes ou a primitiva conhecida. Uma primitiva de t e^{t} é e^{t}(t-1), pois
\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t-1)\big)=e^{t}(t-1)+e^{t}=t e^{t}.
Assim uma primitiva de 4t e^{t} é 4e^{t}(t-1). Aplicando os limites:
\int_{0}^{1}4t e^{t}\,dt = \left[4e^{t}(t-1)\right]_{0}^{1} =4\big(e^{1}(1-1)-e^{0}(0-1)\big).
Calcule os termos:
e^{1}(1-1)=e\cdot 0=0,\qquad e^{0}(0-1)=1\cdot(-1)=-1.
Portanto
\int_{0}^{1}4t e^{t}\,dt =4\big(0-(-1)\big)=4\cdot 1=4.

Resposta

4

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