Uma empresa possui dois equipamentos A e B.
Uma empresa deseja adquirir pelo menos 30 metros de um fio fino de \mathrm{R} \ 4,00o metro, e, no máximo, 20 metros de um fio grosso de\mathrm{R} $9,00o metro. Foi autorizado um gasto de no máximoR $ 360,00e que a relação entre a quantidade a ser comprada do fio grosso e do fio fino não seja inferior a1 / 4. Determine e represente graficamente o conjunto de pares de números (x, y$ ) que representem as opções de compra da empresa.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine e represente o conjunto de pares (x,y) que correspondem às opções de compra da empresa. Vou primeiro listar claramente o que é pedido e todas as informações dadas:
Variáveis (escolha feita para organizar a resolução): x = número de metros do fio fino (R$4{,}00 por metro); y = número de metros do fio grosso (R$ 9{,}00 por metro).
Condições fornecidas no enunciado:
Deve comprar pelo menos 30 metros do fio fino. (Ou seja, uma restrição inferior em x.)
Deve comprar, no máximo, 20 metros do fio grosso. (Restrição superior em y.)
Foi autorizado um gasto de no máximo R$ 360{,}00. (Restrição orçamentária envolvendo x e y.)
A relação entre a quantidade de fio grosso e de fio fino não seja inferior a 1/4. (Ou seja, \dfrac{y}{x}\ge\dfrac{1}{4}.)
Implícito: x e y não podem ser negativos.
O objetivo é escrever essas condições como um conjunto de desigualdades em x e y e descrever graficamente (ou indicar como traçar) a região viável no plano (x,y).
Passo 2
Traduzir cada condição em uma desigualdade matemática, explicando cada passo:
“Pelo menos 30 metros do fio fino” significa que a quantidade x não pode ser menor que 30. Em desigualdade:
x \ge 30.
“No máximo 20 metros do fio grosso” significa:
y \le 20.
"Gasto de no máximo R$ 360" — custo total = (preço do fino) \times (quantidade fina) + (preço do grosso) \times (quantidade grossa). Logo:
4\cdot x + 9\cdot y \le 360.
(Explicação didática: para cada metro de fio fino paga-se R$4, então 4x é o custo do fino; para o grosso paga-se R$ 9 por metro, então 9y é o custo do grosso; a soma não pode ultrapassar R$ 360.)
"A relação entre a quantidade do fio grosso e do fio fino não seja inferior a 1/4" significa:
\frac{y}{x} \ge \frac{1}{4}.
Como queremos uma desigualdade em termos de x,y sem divisão por zero (e sabemos x\ge30>0), podemos multiplicar ambos os lados por x e obter:
y \ge \frac{x}{4}.
Também mantemos as condições naturais:
x\ge 0,\qquad y\ge 0,
mas a restrição x\ge30 já garante x\ge0.
Portanto o conjunto viável é a interseção dos semiplanos definidos por essas desigualdades.
Passo 3
Escrever o sistema de desigualdades final que define a região viável (acabei de traduzir, aqui está organizado):
\begin{cases} x \ge 30,\\[4pt] y \le 20,\\[4pt] y \ge \dfrac{x}{4},\\[6pt] 4x + 9y \le 360,\\[4pt] x\ge 0,\; y\ge 0. \end{cases}
Agora vou explicar como montar o desenho no papel (ou em software) usando as retas limites destas desigualdades:
A reta x=30 é uma vertical que passa por x=30.
A reta y=20 é uma horizontal que passa por y=20.
A reta y=\dfrac{x}{4} passa pela origem e tem declive 1/4 (subida leve — a cada 4 unidades em x sobe 1 em y).
A reta orçamentária 4x+9y=360 pode ser reescrita comoy = 40 - \frac{4}{9}x,que tem intercepto em y igual a 40 (quando x=0) e intercepto em x igual a 90 (quando y=0).
Cada desigualdade define um semiplano (lado “aceitável” da reta). A região viável é a interseção desses semiplanos.]
Passo 4
Calcular os pontos de interseção relevantes entre as retas que delimitam a região — estes pontos serão os vértices do polígono viável. Vou calcular interseções duas a duas, mostrando o passo a passo algébrico.
Interseção entre y=\dfrac{x}{4} e x=30:
y=\frac{30}{4}=7{,}5.
Ponto: \bigl(30,\,7{,}5\bigr).
Interseção entre x=30 e y=20:
P=(30,\,20).
Interseção entre y=20 e a reta orçamentária 4x+9y=360:
Substituindo y=20 em 4x+9y=360:
x = \frac{360\cdot 4}{25} = \frac{1440}{25} = 57{,}6.
E
y = \frac{x}{4} = \frac{57{,}6}{4} = 14{,}4.
Ponto: \bigl(57{,}6,\,14{,}4\bigr).
Conferência rápida: esses pontos satisfazem todas as desigualdades onde deveriam — por exemplo, em (57{,}6,14{,}4) temos 4x+9y=360 exatamente; em (30,7{,}5) a relação y=x/4 e x=30 são satisfeitas.
Passo 5
Determinar a forma do conjunto viável a partir dos vértices encontrados e das desigualdades:
Para x fixo com 30 \le x \le 45, a desigualdade superior relevante é y\le 20 (pois 40-\tfrac{4}{9}x \ge 20 nesse intervalo), e a desigualdade inferior é y\ge \tfrac{x}{4}. Logo, para 30\le x\le45, y varia entre y=\dfrac{x}{4} (embaixo) e y=20 (embaixo).
Para 45 \le x \le 57{,}6, a desigualdade superior passa a ser y\le 40-\dfrac{4}{9}x (a reta de custo fica abaixo de y=20), e a desigualdade inferior continua sendo y\ge \dfrac{x}{4}. Então para 45\le x\le 57{,}6, y varia entre y=\dfrac{x}{4} e y=40-\dfrac{4}{9}x.
Para x>57{,}6 a desigualdade y\ge \dfrac{x}{4} cruza acima da reta de custo, tornando impossível satisfazer ambas; portanto não há soluções com x>57{,}6.
Portanto a região viável é um polígono convexo com vértices (em ordem ao contornar a região):
No desenho: marque as retas x=30, y=20, y=\dfrac{x}{4} e y=40-\dfrac{4}{9}x; a região de interesse é a região fechada limitada por esses quatro segmentos, conforme os vértices acima. Para traçar com precisão:
trace a reta y=\dfrac{x}{4} a partir da origem (divida o eixo x em unidades e suba um quarto por cada unidade de x);
trace a vertical x=30;
trace a horizontal y=20;
trace a reta y=40-\dfrac{4}{9}x usando interceptos (0,40) e (90,0);
marque os vértices calculados e sombree a região poligonal entre eles.
Passo 6
Resumo didático final (como interpretar na prova):
Converta restrições em desigualdades lineares; represente cada uma como semiplano no plano (x,y).
Encontre interseções das retas que servem de fronteira (resolver sistemas de duas equações lineares) para obter vértices.
Verifique, para intervalos de x, qual das desigualdades superiores é ativa (mínimo entre y=20 e y=40-\tfrac{4}{9}x) e use isso para obter o intervalo de x viável.
Os vértices são os pontos que aparecem quando duas (ou mais) restrições são ativas simultaneamente — eles formam os cantos do polígono viável.