Uma empresa possui dois equipamentos A e B.
Uma empresa deseja adquirir pelo menos 30 metros de um fio fino de \mathrm{R} \ 4,00 o metro, e, no máximo, 20 metros de um fio grosso deá\mathrm{R} $9,00 o metro. Foi autorizado um gasto de no máximoáR $ 360,00 e que a relação entre a quantidade a ser comprada do fio grosso e do fio fino não seja inferior açãã1 / 4 . Determine e represente graficamente o conjunto de pares de números (úx, y$ ) que representem as opções de compra da empresa.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine e represente o conjunto de pares (x,y) que correspondem às opções de compra da empresa. Vou primeiro listar claramente o que é pedido e todas as informações dadas:
  • Variáveis (escolha feita para organizar a resolução): x = número de metros do fio fino (R$ 4{,}00 por metro); y = número de metros do fio grosso (R$ 9{,}00 por metro).
  • Condições fornecidas no enunciado:
    • Deve comprar pelo menos 30 metros do fio fino. (Ou seja, uma restrição inferior em x.)
    • Deve comprar, no máximo, 20 metros do fio grosso. (Restrição superior em y.)
    • Foi autorizado um gasto de no máximo R$ 360{,}00. (Restrição orçamentária envolvendo x e y.)
    • A relação entre a quantidade de fio grosso e de fio fino não seja inferior a 1/4. (Ou seja, \dfrac{y}{x}\ge\dfrac{1}{4}.)
    • Implícito: x e y não podem ser negativos.
O objetivo é escrever essas condições como um conjunto de desigualdades em x e y e descrever graficamente (ou indicar como traçar) a região viável no plano (x,y).

Passo 2

Traduzir cada condição em uma desigualdade matemática, explicando cada passo:
  • “Pelo menos 30 metros do fio fino” significa que a quantidade x não pode ser menor que 30. Em desigualdade:
    x \ge 30.
  • “No máximo 20 metros do fio grosso” significa:
    y \le 20.
  • "Gasto de no máximo R$ 360" — custo total = (preço do fino) \times (quantidade fina) + (preço do grosso) \times (quantidade grossa). Logo:
    4\cdot x + 9\cdot y \le 360.
    (Explicação didática: para cada metro de fio fino paga-se R$ 4, então 4x é o custo do fino; para o grosso paga-se R$ 9 por metro, então 9y é o custo do grosso; a soma não pode ultrapassar R$ 360.)
  • "A relação entre a quantidade do fio grosso e do fio fino não seja inferior a 1/4" significa:
    \frac{y}{x} \ge \frac{1}{4}.
    Como queremos uma desigualdade em termos de x,y sem divisão por zero (e sabemos x\ge30>0), podemos multiplicar ambos os lados por x e obter:
    y \ge \frac{x}{4}.
  • Também mantemos as condições naturais:
    x\ge 0,\qquad y\ge 0,
    mas a restrição x\ge30 já garante x\ge0.
Portanto o conjunto viável é a interseção dos semiplanos definidos por essas desigualdades.

Passo 3

Escrever o sistema de desigualdades final que define a região viável (acabei de traduzir, aqui está organizado):
\begin{cases} x \ge 30,\\[4pt] y \le 20,\\[4pt] y \ge \dfrac{x}{4},\\[6pt] 4x + 9y \le 360,\\[4pt] x\ge 0,\; y\ge 0. \end{cases}
Agora vou explicar como montar o desenho no papel (ou em software) usando as retas limites destas desigualdades:
  • A reta x=30 é uma vertical que passa por x=30.
  • A reta y=20 é uma horizontal que passa por y=20.
  • A reta y=\dfrac{x}{4} passa pela origem e tem declive 1/4 (subida leve — a cada 4 unidades em x sobe 1 em y).
  • A reta orçamentária 4x+9y=360 pode ser reescrita como y = 40 - \frac{4}{9}x,que tem intercepto em y igual a 40 (quando x=0) e intercepto em x igual a 90 (quando y=0).
Cada desigualdade define um semiplano (lado “aceitável” da reta). A região viável é a interseção desses semiplanos.]

Passo 4

Calcular os pontos de interseção relevantes entre as retas que delimitam a região — estes pontos serão os vértices do polígono viável. Vou calcular interseções duas a duas, mostrando o passo a passo algébrico.
  1. Interseção entre y=\dfrac{x}{4} e x=30:
    y=\frac{30}{4}=7{,}5.
    Ponto: \bigl(30,\,7{,}5\bigr).
  2. Interseção entre x=30 e y=20:
    P=(30,\,20).
  3. Interseção entre y=20 e a reta orçamentária 4x+9y=360:
    Substituindo y=20 em 4x+9y=360:
    4x + 9\cdot 20 = 360 \quad\Rightarrow\quad 4x + 180 = 360 \quad\Rightarrow\quad 4x = 180 \quad\Rightarrow\quad x = 45.
    Ponto: \bigl(45,\,20\bigr).
  4. Interseção entre y=\dfrac{x}{4} e a reta orçamentária 4x+9y=360:
    Substituo y=\dfrac{x}{4} em 4x+9y=360:
    4x + 9\cdot\frac{x}{4} = 360.
    Calculo passo a passo:
    4x + \frac{9}{4}x = \frac{16}{4}x + \frac{9}{4}x = \frac{25}{4}x = 360.
    Portanto
    x = \frac{360\cdot 4}{25} = \frac{1440}{25} = 57{,}6.
    E
    y = \frac{x}{4} = \frac{57{,}6}{4} = 14{,}4.
    Ponto: \bigl(57{,}6,\,14{,}4\bigr).
Conferência rápida: esses pontos satisfazem todas as desigualdades onde deveriam — por exemplo, em (57{,}6,14{,}4) temos 4x+9y=360 exatamente; em (30,7{,}5) a relação y=x/4 e x=30 são satisfeitas.

Passo 5

Determinar a forma do conjunto viável a partir dos vértices encontrados e das desigualdades:
  • Para x fixo com 30 \le x \le 45, a desigualdade superior relevante é y\le 20 (pois 40-\tfrac{4}{9}x \ge 20 nesse intervalo), e a desigualdade inferior é y\ge \tfrac{x}{4}. Logo, para 30\le x\le45, y varia entre y=\dfrac{x}{4} (embaixo) e y=20 (embaixo).
  • Para 45 \le x \le 57{,}6, a desigualdade superior passa a ser y\le 40-\dfrac{4}{9}x (a reta de custo fica abaixo de y=20), e a desigualdade inferior continua sendo y\ge \dfrac{x}{4}. Então para 45\le x\le 57{,}6, y varia entre y=\dfrac{x}{4} e y=40-\dfrac{4}{9}x.
  • Para x>57{,}6 a desigualdade y\ge \dfrac{x}{4} cruza acima da reta de custo, tornando impossível satisfazer ambas; portanto não há soluções com x>57{,}6.
Portanto a região viável é um polígono convexo com vértices (em ordem ao contornar a região):
\bigl(30,\,7{,}5\bigr)\\ \to\\ \bigl(30,\,20\bigr)\\ \to\\ \bigl(45,\,20\bigr)\\ \to\\ \bigl(57{,}6,\,14{,}4\bigr)\\ \to\\ \bigl(30,\,7{,}5\bigr).
No desenho: marque as retas x=30, y=20, y=\dfrac{x}{4} e y=40-\dfrac{4}{9}x; a região de interesse é a região fechada limitada por esses quatro segmentos, conforme os vértices acima. Para traçar com precisão:
  • trace a reta y=\dfrac{x}{4} a partir da origem (divida o eixo x em unidades e suba um quarto por cada unidade de x);
  • trace a vertical x=30;
  • trace a horizontal y=20;
  • trace a reta y=40-\dfrac{4}{9}x usando interceptos (0,40) e (90,0);
  • marque os vértices calculados e sombree a região poligonal entre eles.

Passo 6

Resumo didático final (como interpretar na prova):
  • Converta restrições em desigualdades lineares; represente cada uma como semiplano no plano (x,y).
  • Encontre interseções das retas que servem de fronteira (resolver sistemas de duas equações lineares) para obter vértices.
  • Verifique, para intervalos de x, qual das desigualdades superiores é ativa (mínimo entre y=20 e y=40-\tfrac{4}{9}x) e use isso para obter o intervalo de x viável.
  • Os vértices são os pontos que aparecem quando duas (ou mais) restrições são ativas simultaneamente — eles formam os cantos do polígono viável.

Resposta

O conjunto viável é
\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\\ \middle|\\ x\ge 30,\; y\le 20,\; y\ge \frac{x}{4},\; 4x+9y\le 360,\; x\ge0,\; y\ge0 \right\},
que é o polígono convexo com vértices
(30,\,7{,}5),\quad (30,\,20),\quad (45,\,20),\quad (57{,}6,\,14{,}4).

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