[2,0 pontos] (2) Calcule
, onde
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
é o quarto de disco unitário no primeiro quadrante. O conteúdo é integração em coordenadas polares e vamos usar a troca de variáveis para simplificar o cálculo.
Passo 2
Na troca para coordenadas polares usamos
,
e
. Como
é o quarto de círculo, temos
e
.
Substituindo na integral, o integrando fica
Substituindo na integral, o integrando fica
Como a parte radial e a angular separam, escrevemos
Passo 3
Calculamos o integral em
:
Para o integral em
fazemos
,
, variando de 0 a 1:
Passo 4
Multiplicando tudo: