[2,0 pontos] (2) Calcule integralD integral 6 x y^3 d A, onde D=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1, x >= 0, y >= 0.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaD6xy^3,dA, onde D é o quarto de disco unitário no primeiro quadrante. O conteúdo é integração em coordenadas polares e vamos usar a troca de variáveis para simplificar o cálculo.

Passo 2

Na troca para coordenadas polares usamos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. Como D é o quarto de círculo, temos rin[0,1] e thetain[0,tfracpi2].
Substituindo na integral, o integrando fica
6xy^3,dA=6,(rcostheta),(rsintheta)^3,r,dr,dtheta=6r^5costhetasin^3theta,dr,dtheta
Como a parte radial e a angular separam, escrevemos
integral duplaD6xy^3,dA=6(integral0^1r^5,dr)(integral0^pi2costhetasin^3theta,dtheta)

Passo 3

Calculamos o integral em r:
integral0^1r^5,dr=[r^66]0^1=16
Para o integral em theta fazemos u=sintheta, du=costheta,dtheta, variando de 0 a 1:
integral0^pi2costhetasin^3theta,dtheta=integral0^1u^3,du=[u^44]0^1=14

Passo 4

Multiplicando tudo:
6times16times14=14

Resposta

14

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