Suponha que a posição de uma partícula no instante t seja dada por
l x1=3 cos (t) y1=2 sen(t) t in[0,2 pi]
e que a posição de uma segunda partícula seja dada por
l x2=-3+cos (t) y2=1+sen(t) t in[0,2 pi]
Alguns desses pontos de interseção são pontos de colisão? Em outras palavras, essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo? Se isso ocorrer, encontre os pontos de colisão.

Passo 1

O enunciado dá as posições paramétricas de duas partículas em função do mesmo parâmetro t em [0,2pi] e pede para checar se há colisão, ou seja, se existe algum t tal que ambas ocupem o mesmo ponto simultaneamente. Vamos usar conceitos de parametrização de curvas e resolver um sistema de equações trigonométricas.

Passo 2

A condição de colisão exige que em um mesmo instante t tenhamos
3cos(t)= -3+cos(t)
e
2sin(t)= 1+sin(t).

Passo 3

Começamos pela equação de x:
3cos(t)= -3+cos(t)Longrightarrow 2cos(t)= -3Longrightarrow cos(t)=-tfrac32
Como cos(t) nunca atinge -3/2 (pois está sempre em [-1,1]), não existe solução real para t.

Passo 4

Como não há t que satisfaça a primeira equação, não precisamos nem verificar a de y: não há instante em que as duas partículas coincidam no mesmo ponto.
Portanto, não há pontos de colisão.

Resposta

As partículas nunca ocupam o mesmo lugar ao mesmo tempo; não há colisão.

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