[ 2,5 pontos] (3) Calcule o volume do sólido E contido entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 e limitado pelos planos x+z=7 e y+z=3.

Passo 1

O exercício pede para calcular o volume do sólido E que fica entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 e é limitado pelos planos x+z=7 e y+z=3. O conteúdo principal é usar integrais triplas (ou duplas pela projeção) e coordenadas cilíndricas para fazer o cálculo.

Passo 2

Primeiro a gente identifica as superfícies em z. Dos planos temos as funções:
z=7-x
e
z=3-y
Para ver qual é o teto e qual é o chão, basta checar onde 7-x>=3-y. No domínio considerado (o anel entre r=1 e r=2) isso vale sempre, então z varia de 3-y (chão) até 7-x (teto).

Passo 3

Projetamos o sólido no plano xy: a região de projeção R é o anel definido por 1<= r<=2 em coordenadas cilíndricas. O volume fica
V=integral duplaRl[(7-x)-(3-y)r],dA=integral duplaR(4 - x + y),dA

Passo 4

Agora trocamos para coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Então o integrando vira
4 - rcostheta + rsintheta
e multiplicamos por r, ficando
4r - r^2costheta + r^2sintheta

Passo 5

Montamos a integral em theta de 0 a 2pi e em r de 1 a 2. Separamos termos:
integral0^2pi!integral1^2l(4rr)dr,dtheta -integral0^2pi!integral1^2r^2costheta,dr,dtheta +integral0^2pi!integral1^2r^2sintheta,dr,dtheta
A parte radial dá integral1^2 4r,dr=6 e integral1^2r^2,dr=7/3. Os termos em costheta e sintheta somados sobre 0 a 2pi são zero. Sobrou
V = 6cdot2pi = 12pi

Resposta

12pi

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