[ 2,5 pontos] (3) Calcule o volume do sólido
contido entre os cilindros
e
e limitado pelos planos
e
.
Passo 1
O exercício pede para calcular o volume do sólido E que fica entre os cilindros
e
e é limitado pelos planos
e
. O conteúdo principal é usar integrais triplas (ou duplas pela projeção) e coordenadas cilíndricas para fazer o cálculo.
Passo 2
Primeiro a gente identifica as superfícies em z. Dos planos temos as funções:
e
Para ver qual é o teto e qual é o chão, basta checar onde
. No domínio considerado (o anel entre
e
) isso vale sempre, então z varia de
(chão) até
(teto).
Passo 3
Projetamos o sólido no plano xy: a região de projeção
é o anel definido por
em coordenadas cilíndricas. O volume fica
Passo 4
Agora trocamos para coordenadas cilíndricas:
Então o integrando vira
e multiplicamos por
, ficando
Passo 5
Montamos a integral em
de 0 a
e em
de 1 a 2. Separamos termos:
A parte radial dá
e
. Os termos em
e
somados sobre 0 a
são zero. Sobrou