Q4. [2 pontos] Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica \alpha é
[T]_{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Determine o polinômio minimal de T . T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T]_{\alpha} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos determinar o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores aparecem na diagonal. Logo, \lambda=3 com multiplicidade algébrica 2, \lambda=1 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

No polinômio minimal cada fator (\lambda-\lambda_i) tem expoente igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado a \lambda_i. Em A vemos que:
– Para \lambda=3 há um bloco 2\times2 (o elemento 1 em posição (1,2) indica uma cadeia de tamanho 2).
– Para \lambda=1 só há bloco 1\times1.

Passo 4

Portanto o polinômio minimal é
m_T(\lambda) = (\lambda - 3)^2(\lambda - 1).

Passo 5

Uma transformação é diagonalizável se o polinômio minimal tiver apenas raízes simples. Como (\lambda-3) aparece ao quadrado em m_T, concluímos que T não é diagonalizável.

Resposta

m_T(\lambda) = (\lambda - 3)^2(\lambda - 1). T não é diagonalizável.

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