Se A=\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ -4 & 3\end{array}\right] qual B abaixo é tal que B^{2}=A.
a. B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & -1\end{array}\right]
b. B=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]
c. \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]
d. B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]
e. B=\left[\begin{array}{rr}-1 & -1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma matriz B tal que
B^{2} \;=\; A \quad\text{com}\quad A = \begin{pmatrix}3 & -2 \\[6pt] -4 & 3\end{pmatrix}.
O conteúdo é multiplicação de matrizes: vamos usar a definição de produto de duas matrizes 2\times2.]

Passo 2

Seja
B = \begin{pmatrix}a & b \\[3pt] c & d\end{pmatrix}.
Então
B^{2} \;=\; B\cdot B \;=\; \begin{pmatrix} a^{2} + b\,c & a\,b + b\,d \\[4pt] c\,a + d\,c & c\,b + d^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos testar a opção (d):
B = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] -2 & 1\end{pmatrix}.
Calculando B^{2}:
\begin{aligned} (B^{2})_{11} &= 1\cdot1 + (-1)\cdot(-2) = 1 + 2 = 3,\\\ (B^{2})_{12} &= 1\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = -1 -1 = -2,\\\ (B^{2})_{21} &= -2\cdot1 + 1\cdot(-2) = -2 -2 = -4,\\\ (B^{2})_{22} &= -2\cdot(-1) + 1\cdot1 = 2 + 1 = 3. \end{aligned}
Logo,
B^{2} = \begin{pmatrix}3 & -2 \\[3pt] -4 & 3\end{pmatrix} = A.]

Resposta

(d) B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] -2 & 1\end{pmatrix}]

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