Q2. [2,5 pontos] Sejam T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} as transformações lineares definidas por T(x, y)=(0, x, x-y) e S(x, y, z)=(x-y, x+y-z). Determine [T \circ S]_{\alpha}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}.

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares S\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 dada por
S(x,y,z) = (\,x - y,\;x + y - z\,)
e T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 dada por
T(u,v) = (\,0,\;u,\;u - v\,).
Queremos a matriz de T\circ S\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 relativa à base \alpha = \{v_1=(1,1,1),\,v_2=(0,1,1),\,v_3=(0,0,1)\} tanto no domínio quanto no contradomínio.
Para isso, aplicamos T\circ S a cada v_j e depois escrevemos o resultado em coordenadas na base \alpha.

Passo 2

Calcule T\circ S(v_1) com v_1=(1,1,1):
S(1,1,1) = (1-1,\;1+1-1) = (0,1),
T(0,1) = (\,0,\;0,\;0-1) = (0,0,-1).
Agora procuramos (0,0,-1) = c_1(1,1,1) + c_2(0,1,1) + c_3(0,0,1).
Isso dá o sistema
c_1 = 0,\quad c_1+c_2 = 0,\quad c_1+c_2+c_3 = -1
logo (c_1,c_2,c_3) = (0,0,-1).

Passo 3

Calcule T\circ S(v_2) com v_2=(0,1,1):
S(0,1,1) = (0-1,\;0+1-1) = (-1,0),
T(-1,0) = (\,0,\;-1,\;-1-0) = (0,-1,-1).
Procuramos (0,-1,-1) = c_1(1,1,1) + c_2(0,1,1) + c_3(0,0,1).
O sistema é
c_1 = 0,\quad c_1+c_2 = -1,\quad c_1+c_2+c_3 = -1
logo (c_1,c_2,c_3) = (0,-1,0).

Passo 4

Calcule T\circ S(v_3) com v_3=(0,0,1):
S(0,0,1) = (0-0,\;0+0-1) = (0,-1),
T(0,-1) = (\,0,\;0,\;0-(-1)) = (0,0,1).
Procuramos (0,0,1) = c_1(1,1,1) + c_2(0,1,1) + c_3(0,0,1).
O sistema é
c_1 = 0,\quad c_1+c_2 = 0,\quad c_1+c_2+c_3 = 1
logo (c_1,c_2,c_3) = (0,0,1).

Passo 5

As colunas da matriz [T\circ S]_{\alpha}^{\alpha} são os vetores de coordenadas encontrados em cada passo:
1ª coluna: (0,0,-1)
2ª coluna: (0,-1,0)
3ª coluna: (0,0,1)

Resposta

[T\circ S]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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