Q3. [3 pontos] Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é [T]=\left[\begin{array}{ll} -1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right] T é um isomorfismo? Caso afirmativo, determine T^{-1}. Passo 1O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é [T]=\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} e pergunta se T é um isomorfismo e, em caso afirmativo, qual é T^{-1}. O conteúdo principal aqui é verificar a invertibilidade de T calculando \det([T]) e, se for diferente de zero, obter a matriz inversa através da adjunta. Passo 2Calcular o determinante de [T]: \det([T]) =\det\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} =(-1)\cdot1 \;-\;2\cdot(-1) =-1+2 =1. Passo 3Como \det([T])=1\neq0, a matriz [T] é invertível. Logo, T é um isomorfismo de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2. Passo 4Para encontrar [T]^{-1} usamos a fórmula da matriz inversa de 2\times2, [T]^{-1}=\frac1{\det([T])}\begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix}, onde a=-1, b=2, c=-1, d=1. Portanto, [T]^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}. Isto significa que, para (x,y)\in\mathbb{R}^2, T^{-1}(x,y) =\bigl(x-2y,\;x-y\bigr). RespostaSim, T é um isomorfismo. A matriz de T^{-1} na base canônica é [T]^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQ2. [2,5 pontos] Sejam T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} e S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} as transformações lineares definidas por T(x, y)=(0, x, x-y) e S(x, y, z)=(x-y, x+y-z). Determine [T \circ S]_{\alpha}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)\}. Q1. Seja T o operador linear em P_{2}(\mathbb{R}) definido por T\left(a x^{2}+b x+c\right)=(a+2 b) x+(b+c). a) [1,5 ponto ] Determine as dimensões do núcleo e da imagem de T; b) [1 ponto] O operador T é injetor? Justifique sua resposta. Q4. [2 pontos] Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear cuja matriz em relação à base canônica \alpha é [T]_{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] Determine o polinômio minimal de T . T é diagonalizável? Se A=\left[\begin{array}{rr}3 & -2 \\\\ -4 & 3\end{array}\right] qual B abaixo é tal que B^{2}=A. a. B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & -1\end{array}\right] b. B=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right] c. \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right] d. B=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right] e. B=\left[\begin{array}{rr}-1 & -1 \\\\ -2 & 1\end{array}\right]