Q3. [3 pontos] Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é
[T]=\left[\begin{array}{ll} -1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]
T é um isomorfismo? Caso afirmativo, determine T^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz na base canônica é
[T]=\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}
e pergunta se T é um isomorfismo e, em caso afirmativo, qual é T^{-1}. O conteúdo principal aqui é verificar a invertibilidade de T calculando \det([T]) e, se for diferente de zero, obter a matriz inversa através da adjunta.

Passo 2

Calcular o determinante de [T]:
\det([T]) =\det\begin{pmatrix} -1 & 2\\\\ -1 & 1 \end{pmatrix} =(-1)\cdot1 \;-\;2\cdot(-1) =-1+2 =1.

Passo 3

Como \det([T])=1\neq0, a matriz [T] é invertível. Logo, T é um isomorfismo de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2.

Passo 4

Para encontrar [T]^{-1} usamos a fórmula da matriz inversa de 2\times2,
[T]^{-1}=\frac1{\det([T])}\begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix},
onde a=-1, b=2, c=-1, d=1. Portanto,
[T]^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
Isto significa que, para (x,y)\in\mathbb{R}^2,
T^{-1}(x,y) =\bigl(x-2y,\;x-y\bigr).

Resposta

Sim, T é um isomorfismo.
A matriz de T^{-1} na base canônica é
[T]^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

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