[2 pontos] Considere um objeto de massa m acoplada a uma mola flexível suspensa por um suporte rígido. Se assumimos que uma força de amortecimento atua no objeto, então utilizando a segunda Lei de Newton e a Lei de Hooke, a posição x(s) de um certo oscilador em um momento t é dada por
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+6 \frac{d x}{d t}+25 x=0
Assuma as condições iniciais x(0)=1 e x^{\prime}(0)=5 e resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela EDO acima e pelas duas condiçōes iniciais.

Passo 1

O enunciado dá o Problema de Valor Inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 6\,\frac{dx}{dt} + 25\,x = 0,
com condições iniciais x(0)=1 e x'(0)=5. O conteúdo aqui é resolver EDOs de segunda ordem usando a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo x(t)=e^{rt}:
r^{2} + 6r + 25 = 0.
Resolvendo-a, obtemos as raízes
r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^{2} - 4\cdot1\cdot25}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-64}}{2} = -3 \pm 4\,i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -3\pm4i, a solução geral é
x(t) = e^{-3t}\bigl(C_{1}\cos(4t) + C_{2}\sin(4t)\bigr).

Passo 4

Para determinar C_{1} e C_{2}, usamos as condições iniciais. Primeiro,
x(0) = e^{0}\bigl(C_{1}\cos0 + C_{2}\sin0\bigr) = C_{1} = 1.
Em seguida, calculamos a derivada:
x'(t) = e^{-3t}\bigl(-3(C_{1}\cos4t + C_{2}\sin4t) + (-4C_{1}\sin4t + 4C_{2}\cos4t)\bigr).
Em t=0,
x'(0) = -3C_{1} + 4C_{2} = -3\cdot1 + 4C_{2} = 5 \quad\Longrightarrow\quad 4C_{2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} = 2.

Passo 5

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=2 na solução geral, obtemos
x(t) = e^{-3t}\bigl(\cos(4t) + 2\sin(4t)\bigr).

Resposta

x(t) = e^{-3t}\bigl(\cos(4t) + 2\sin(4t)\bigr).

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