[2 pontos] Considere um objeto de massa
acoplada a uma mola flexível suspensa por um suporte rígido. Se assumimos que uma força de amortecimento atua no objeto, então utilizando a segunda Lei de Newton e a Lei de Hooke, a posição
de um certo oscilador em um momento
é dada por
Assuma as condições iniciais
e
e resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) dado pela EDO acima e pelas duas condiçōes iniciais.
Passo 1
O enunciado dá o Problema de Valor Inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
com condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é resolver EDOs de segunda ordem usando a equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo
:
Resolvendo-a, obtemos as raízes
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é
Passo 4
Para determinar
e
, usamos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, calculamos a derivada:
Em
,
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos