Considere a EDO
e responda:
\begin{gathered} 2 y x e^{x} \\\ x e^{x}\left(y^{2}+1\right) d x-y d y=0 \end{gathered}
\frac{d y}{d x}=\frac{x e^{x} y^{2}}{y}+\frac{1}{y}
(a) [1 ponto] Verifique se a EDO tem uma única solução para y(1)=1. Justifique sua resposta.
(b) [2 pontos] Resolva a EDO (encontrar apenas a solução geral, não precisa utilizar a condição y(0)=1 ).

Passo 1

O enunciado dá a EDO na forma diferencial
x e^{x}\bigl(y^{2}+1\bigr)\,dx - y\,dy = 0
com condição inicial y(1)=1.
Esse é um caso de equação de variáveis separáveis e, para (a), vamos colocá-la em forma padrão
\frac{dy}{dx}=f(x,y).

Passo 2

Reescrevendo
x e^{x}\bigl(y^{2}+1\bigr)\,dx - y\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} =\frac{x e^{x}(y^{2}+1)}{y}.
Definimos
f(x,y)=\frac{x e^{x}(y^{2}+1)}{y}.
Note que f só deixa de ser contínua quando y=0. No entanto, a condição inicial é y(1)=1, ou seja, num retângulo em (x,y) que contenha (1,1) mas não toque y=0, tanto f(x,y) quanto \partial f/\partial y são contínuas. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução que passa por (1,1).

Passo 3

Para resolver a EDO em si, usamos separação de variáveis:
\frac{dy}{dx} =\frac{x e^{x}(y^{2}+1)}{y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{y^{2}+1}\,dy =x e^{x}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
À esquerda,
\int \frac{y}{y^{2}+1}\,dy =\frac12\ln\!\bigl(y^{2}+1\bigr).
À direita, por partes (tomando u=x,\;dv=e^{x}dx):
\int x e^{x}\,dx =x e^{x}-\int e^{x}\,dx =x e^{x}-e^{x} =e^{x}(x-1).
Logo
\frac12\ln\!\bigl(y^{2}+1\bigr) =e^{x}(x-1)+C.

Passo 5

Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos a solução geral
\ln\!\bigl(y^{2}+1\bigr) =2e^{x}(x-1)+C' \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+1 =K\;e^{2e^{x}(x-1)},
onde K=e^{C'} é constante arbitrária. Assim
y(x) =\pm\sqrt{\,K\,e^{2e^{x}(x-1)}-1\,}.

Resposta

(a) Sim. Como em torno de (1,1), f(x,y)=x e^{x}(y^{2}+1)/y e \partial f/\partial y são contínuas (basta evitar y=0), o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade.
(b) A solução geral é
y(x) =\pm\sqrt{\,K\,e^{2e^{x}(x-1)}-1\,},
com K constante.

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