Considere a EDO
e responda:
(a) [1 ponto] Verifique se a EDO tem uma única solução para
. Justifique sua resposta.
(b) [2 pontos] Resolva a EDO (encontrar apenas a solução geral, não precisa utilizar a condição
).
e responda:
(b) [2 pontos] Resolva a EDO (encontrar apenas a solução geral, não precisa utilizar a condição
Passo 1
O enunciado dá a EDO na forma diferencial
com condição inicial
.
Esse é um caso de equação de variáveis separáveis e, para (a), vamos colocá-la em forma padrão
Esse é um caso de equação de variáveis separáveis e, para (a), vamos colocá-la em forma padrão
Passo 2
Reescrevendo
Definimos
Note que
só deixa de ser contínua quando
. No entanto, a condição inicial é
, ou seja, num retângulo em
que contenha
mas não toque
, tanto
quanto
são contínuas. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução que passa por
.
Passo 3
Para resolver a EDO em si, usamos separação de variáveis:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
À esquerda,
À direita, por partes (tomando
):
Logo
Passo 5
Multiplicando por 2 e exponenciando, obtemos a solução geral
onde
é constante arbitrária. Assim
Resposta
(a) Sim. Como em torno de
,
e
são contínuas (basta evitar
), o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade.
(b) A solução geral é
(b) A solução geral é
com
constante.