[2 pontos] Resolva a EDO
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=x^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2\,y = x^2 - 4.
Para resolver, vamos decompor em solução homogênea mais uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y' - 2\,y = 0.
Escrevendo a equação característica r^2 + r - 2 = 0 e resolvendo, obtemos
r = 1 \quad\text{ou}\quad r = -2.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para a solução particular y_p(x) ao lado direito x^2-4, propomos um polinômio de grau 2:
y_p(x) = a x^2 + b x + c.
Então
y_p'(x) = 2a x + b, \quad y_p''(x) = 2a.

Passo 4

Substituindo em y'' + y' - 2y = x^2-4, vem
2a + (2a x + b) - 2\,(a x^2 + b x + c) = x^2 - 4.
Agrupando termos,
-2a\,x^2 + (2a - 2b)\,x + \bigl(2a + b - 2c\bigr) = x^2 - 4.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} -2a = 1,\\\\ 2a - 2b = 0,\\\\ 2a + b - 2c = -4, \end{cases}
o que dá
a = -\tfrac12,\quad b = -\tfrac12,\quad c = \tfrac54.
Portanto
y_p(x) = -\tfrac12\,x^2 - \tfrac12\,x + \tfrac54.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma de y_h com y_p:
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} - \tfrac12\,x^2 - \tfrac12\,x + \tfrac54.

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} - \frac12\,x^2 - \frac12\,x + \frac54.

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