Considere uma empresa em que o lucro
em um certo ano
é dado por
, onde
satisfaz a seguinte equação diferencial:
onde
. Sabendo-se que no ano
a emprese teve lucro 0 (isto é,
), responda:
(a)
pontos
Qual é função
que descreve o lucro da empresa em termos do tempo
?
(b)
pontos
Assumindo que o lucro da empresa é aferido em milhões de reais, em qual ano a empresa teria um lucro de 6 milhões de reais
?
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de primeira ordem
para
, com condição inicial
. O conteúdo é resolução de EDO linear pelo método do fator integrante. Vamos (a) achar
e (b) resolver
para determinar o ano.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
que satisfaz
Passo 3
Multiplicando a EDO por
obtemos
que é a derivada exata
Integrando em relação a
, vem
logo
Passo 4
Usamos a condição inicial
:
Portanto a solução é
Passo 5
Para encontrar
tal que
, resolvemos
A fórmula de Bhaskara dá
isto é,
ou
. Como
, fica
.
Resposta
(a)
.
(b) A empresa atinge lucro de 6 milhões no ano .
(b) A empresa atinge lucro de 6 milhões no ano