Considere uma empresa em que o lucro y em um certo ano t é dado por y(t), onde y satisfaz a seguinte equação diferencial:
\frac{d y}{d t}+\frac{1}{t} y=3 t-2
onde t>0. Sabendo-se que no ano t=1 a emprese teve lucro 0 (isto é, y(1)=0 ), responda:
(a) [2,25 pontos ] Qual é função y(t) que descreve o lucro da empresa em termos do tempo t ?
(b) [0,75 pontos ] Assumindo que o lucro da empresa é aferido em milhões de reais, em qual ano a empresa teria um lucro de 6 milhões de reais (y(t)=6) ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} \,y = 3t - 2,
para t>0, com condição inicial y(1)=0. O conteúdo é resolução de EDO linear pelo método do fator integrante. Vamos (a) achar y(t) e (b) resolver y(t)=6 para determinar o ano.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) que satisfaz
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int \frac{1}{t}\,dt\Bigr)=\exp(\ln t)=t.

Passo 3

Multiplicando a EDO por \mu(t)=t obtemos
t\,\frac{d y}{d t} + y = 3t^2 - 2t
que é a derivada exata
\frac{d}{dt}\bigl(t\,y\bigr)=3t^2 - 2t.
Integrando em relação a t, vem
t\,y = \int\bigl(3t^2 - 2t\bigr)\,dt = t^3 - t^2 + C,
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y(t) = t^2 - t + \frac{C}{t}.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=0:
0 = 1^2 - 1 + C/1 \;\;\Longrightarrow\;\; C=0.
Portanto a solução é
y(t) = t^2 - t.

Passo 5

Para encontrar t>0 tal que y(t)=6, resolvemos
t^2 - t = 6 \quad\Longrightarrow\quad t^2 - t - 6 = 0.
A fórmula de Bhaskara dá
t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2},
isto é, t=3 ou t=-2. Como t>0, fica t=3.

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=t^2 - t.
(b) A empresa atinge lucro de 6 milhões no ano t=3.

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