[2.5 pontos] Considere o sistema abaixo: lk x+y=2 k y+z=2 y+k z=2
(a) Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem (i) solução única, (ii) mais de uma solução, (iii) nenhuma solução.
Considere que k=2 no sistema acima. Solucione o sistema por Cramer.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em
O conteúdo aqui é classificação de soluções de sistemas lineares usando determinante (ou posto) e, em seguida, aplicação da Regra de Cramer para (k=2].

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = k & 1 & 0 0 & k & 1 0 & 1 & k
e calculamos seu determinante por expansão na primeira coluna:
det(A) = k,(kcdot k - 1cdot 1) = k,(k^2-1) = k,(k-1)(k+1)
Logo det(A)neq0 exatamente quando kneq -1,0,1, e nesses casos o sistema tem solução única.

Passo 3

Para
da segunda tira-se . Portanto não há solução.
Para , obtemos
duas equações independentes em três variáveis, sempre consistentes, o que gera infinitas soluções ( livre).
Para , obtemos
também há apenas duas linhas independentes e sem contradição, gerando infinitas soluções.

Passo 4

Agora tomamos k=2. A matriz de coeficientes é
A = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 , det(A)=2,(4-1)=6
Pela Regra de Cramer, trocamos a coluna de x pelo vetor (2,2,2):
De<ax = det2&1&02&2&12&1&2 =2,(2cdot2-1cdot1)-1,(2cdot2-1cdot2) =2cdot3 - (4-2) =6-2=4,
logo x=De<ax/det(A)=4/6=2/3.
Analogamente,
De<ay=4, De<az=4 Longrightarrow y=46=2/3, z=46=2/3

Resposta

(i) única solução: kneq -1,0,1.
(ii) mais de uma solução (infinitas): k=0 ou k=1.
(iii) nenhuma solução: k=-1.
Para k=2 obtemos
(x,y,z)=l(tfrac23,,tfrac23,,tfrac23r)

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