Exercício 2.5.15. Construir, em cada um dos casos seguintes, um sub-espaço W subseteq R^4 que satisfaz às condições indicadas:
dim W=1;

Passo 1

O enunciado pede para construirmos um subespaço WsubseteqR^4 de dimensão dim W=1. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais e dimensão: sabemos que um subespaço de dimensão 1 é gerado por um único vetor não-nulo em R^4.

Passo 2

Pela definição de dimensão, dim W=1 significa que qualquer base de W deve ter exatamente um vetor. Assim, basta escolher um vetor não-zero vinR^4 e definir
W = spanv = ,t,v : tinR
Este W é um subespaço de R^4 e sua base v tem cardinalidade 1.

Passo 3

Uma escolha simples é
v = (1,0,0,0)
Então definimos
W = (t,0,0,0) : tinR = span(1,0,0,0)
Claramente W contém o vetor zero (caso t=0), é fechado sob soma e multiplicação escalar, e sua única base é (1,0,0,0), logo dim W=1.

Resposta

W = span(1,0,0,0)

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