Exercício 2.5.15. Construir, em cada um dos casos seguintes, um sub-espaço W subseteq R^4 que satisfaz às condições indicadas:
(1,2,0,0) in W e dim W=2;

Passo 1

O enunciado pede um subespaço WsubseteqR^4 tal que (1,2,0,0)in W e dim W=2. Para isso precisamos escolher dois vetores linearmente independentes em R^4, sendo um deles (1,2,0,0); o subespaço será o span desses dois vetores.

Passo 2

Já temos o vetor v1=(1,2,0,0). Para completar uma base de um plano em R^4, basta escolher um vetor v2 que não seja múltiplo de v1. Uma escolha simples é
v2=(0,0,1,0)

Passo 3

Mostramos que v1,v2 é um conjunto linearmente independente. Se
c1,v1 + c2,v2 = (0,0,0,0),
isto é,
c1(1,2,0,0) + c2(0,0,1,0) = (c1,;2c1,;c2,;0) = (0,0,0,0),
então c1=0 e c2=0. Logo a combinação trivial é única, e diml(spanv1,v2r)=2.

Passo 4

Definimos
W = span(1,2,0,0),;(0,0,1,0)
Por construção, (1,2,0,0)in W e dim W=2, conforme exigido.

Resposta

Uma possibilidade é
W = span(1,2,0,0),,(0,0,1,0) = l(x,2x,y,0)mid x,yinRr

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