[2.5 pontos] Nos itens abaixo, prove caso seja verdadeiro ou forneça um contra-exemplo no caso contrário.
(a) Existe alguma matriz D, em que det D neq 0, tal que D^2=0 ( 0 é a matriz nula)?
(b) Se o produto de duas matrizes resulta na matriz nula, podemos sempre afirmar que uma das matrizes é a matriz nula?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre matrizes quadradas:
1. (a) Verificar se existe matriz D com det Dneq0 tal que
D^2=0
2. (b) Verificar se, sempre que o produto de duas matrizes A e B satisfaz
AB=0,
então necessariamente A=0 ou B=0.
Para isso vamos usar propriedades de determinante e o fato de que matrizes podem ser divisores de zero.

Passo 2

Para (a), suponha que exista matriz D com det Dneq0 e D^2=0. Como det Dneq0, a matriz D é invertível, ou seja, existe D^-1. Multiplicando a igualdade D^2=0 à esquerda por D^-1 obtemos
D^-1D^2 = D^-10 Longrightarrow D = 0
Isso contradiz det Dneq0. Logo não existe matriz invertível cujo quadrado seja a matriz nula.

Passo 3

Para (b), apresentamos um contra-exemplo em dimensão 2. Defina
A = 1 & 0[6pt] 0 & 0, B = 0 & 0[6pt] 1 & 0
Então nem A nem B são a matriz nula, mas
AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0
Portanto AB=0 sem que A ou B seja nula, mostrando que não podemos afirmar que um dos fatores seja zero.]

Resposta

(a) Não existe tal matriz — a afirmação é falsa.
(b) Não podemos afirmar — a afirmação é falsa, como mostra o contra-exemplo acima.

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