[2.5 pontos] Nos itens abaixo, prove caso seja verdadeiro ou forneça um contra-exemplo no caso contrário.
(a) Existe alguma matriz , em que , tal que ( 0 é a matriz nula)?
(b) Se o produto de duas matrizes resulta na matriz nula, podemos sempre afirmar que uma das matrizes é a matriz nula?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre matrizes quadradas: . (a) Verificar se existe matriz com tal que
. (b) Verificar se, sempre que o produto de duas matrizes e satisfaz
então necessariamente ou .
Para isso vamos usar propriedades de determinante e o fato de que matrizes podem ser divisores de zero.
Passo 2
Para (a), suponha que exista matriz com e . Como , a matriz é invertível, ou seja, existe . Multiplicando a igualdade à esquerda por obtemos
Isso contradiz . Logo não existe matriz invertível cujo quadrado seja a matriz nula.
Passo 3
Para (b), apresentamos um contra-exemplo em dimensão . Defina
Então nem nem são a matriz nula, mas
Portanto AB=0 sem que A ou B seja nula, mostrando que não podemos afirmar que um dos fatores seja zero.]
Resposta
(a) Não existe tal matriz — a afirmação é falsa.
(b) Não podemos afirmar — a afirmação é falsa, como mostra o contra-exemplo acima.