Escolha um E APENAS UM dos itens abaixo e forneça o que se pede
a) Encontre o volume do sólido limitado abaixo pelo plano z=0 \mathrm{e} acima pela superfície
z=f(x, y)=1-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o volume do sólido que está abaixo do plano z=0 e acima da superfície
z = f(x,y) = 1 - x^{2} - y^{2}.
Informações dadas e o que se pede:
\; - A superfície superior é z=1-x^{2}-y^{2}.
\; - A superfície inferior é o plano z=0.
\; - Precisamos calcular o volume do corpo que fica entre essas duas superfícies (ou seja, onde 1-x^{2}-y^{2}\ge 0).

Passo 2

Qual fórmula usamos para volume? Quando uma superfície z=f(x,y) fica acima do plano z=0 sobre uma região D no plano xy, o volume é dado pelo integral duplo
V = \iint_{D} f(x,y)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy (ou seja, uma pequena área). Aqui f(x,y) deve ser não negativa em D. Vou usar essa fórmula com f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}. Explico cada símbolo: V é o volume procurado; D é a projeção do sólido no plano xy; dA representa um pedaço infinitesimal de área em xy.

Passo 3

Determinar a região D. A condição de que o sólido exista é f(x,y)\ge 0, ou seja
1 - x^{2} - y^{2} \ge 0.
Rearranjando,
x^{2} + y^{2} \le 1.
Portanto D é o disco de centro na origem e raio 1: todos os pontos (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\le 1.

Passo 4

Escolha de coordenadas. Como D é um disco centrado na origem, é muito conveniente usar coordenadas polares. A transformação é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo polar. O elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente dr\,d\theta: existe um fator chamado jacobiano. Geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta. Logo
dA = r\,dr\,d\theta.
Os limites de (r,\theta) que cobrem o disco x^{2}+y^{2}\le 1 são
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 5

Escrever f em polares e montar o integral. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} temos
f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}=1-r^{2}.
Pelo que,
V = \iint_{D} (1 - x^{2} - y^{2})\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (1 - r^{2})\; r\,dr\,d\theta.
Expliquei: o integrando é (1-r^{2}) e multiplicamos pelo jacobiano r, e os limites são os do disco.

Passo 6

Calcular a integral interna em r. Primeiro simplifico o integrando:
(1-r^{2})\,r = r - r^{3}.
Agora integro em r de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr = \left[\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Detalhe: calculei antiderivadas termo a termo: \int r\,dr = r^{2}/2 e \int r^{3}\,dr = r^{4}/4.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e concluir. Agora
V = \int_{0}^{2\pi} \left(\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr\right) d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\, d\theta = \frac{1}{4}\cdot \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}.
Portanto o volume é \pi/2. Rapidinho: radial deu 1/4, angular deu 2\pi, produto 2\pi/4=\pi/2.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

Exercícios relacionados