Escolha um E APENAS UM dos itens abaixo e forneça o que se pede
a) Encontre o volume do sólido limitado abaixo pelo plano
acima pela superfície
a) Encontre o volume do sólido limitado abaixo pelo plano
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o volume do sólido que está abaixo do plano
e acima da superfície
Informações dadas e o que se pede:
- A superfície superior é
.
- A superfície inferior é o plano
.
- Precisamos calcular o volume do corpo que fica entre essas duas superfícies (ou seja, onde
).
Passo 2
Qual fórmula usamos para volume? Quando uma superfície
fica acima do plano
sobre uma região
no plano
, o volume é dado pelo integral duplo
onde
é o elemento de área no plano
(ou seja, uma pequena área). Aqui
deve ser não negativa em
. Vou usar essa fórmula com
. Explico cada símbolo:
é o volume procurado;
é a projeção do sólido no plano
;
representa um pedaço infinitesimal de área em
.
Passo 3
Determinar a região
. A condição de que o sólido exista é
, ou seja
Rearranjando,
Portanto
é o disco de centro na origem e raio
: todos os pontos
tais que
.
Passo 4
Escolha de coordenadas. Como
é um disco centrado na origem, é muito conveniente usar coordenadas polares. A transformação é
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo polar. O elemento de área em coordenadas polares não é simplesmente
: existe um fator chamado jacobiano. Geometricamente, um pequeno retângulo em
tem área aproximada
. Logo
Os limites de
que cobrem o disco
são
Passo 5
Escrever
em polares e montar o integral. Substituindo
temos
Pelo que,
Expliquei: o integrando é
e multiplicamos pelo jacobiano
, e os limites são os do disco.
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Primeiro simplifico o integrando:
Agora integro em
de
a
:
Detalhe: calculei antiderivadas termo a termo:
e
.
Passo 7
Calcular a integral em
e concluir. Agora
Portanto o volume é
. Rapidinho: radial deu
, angular deu
, produto
.