pontos
Duas fontes sonoras
e Fh estão localizadas a uma distancia de 10 m uma da outra. Ambos emitem ondas ondas sonoras esféricas com potências
e
, respectivamente. Um detector de som esta localizado entre ambos na linha reta que os une.
(a) Considere que as ondas têm frequēncias diferentes, de modo que os efeitos de interferência podem ser desprezados.
i.
Determine a que distância da fonte
o detector deve estar para medir a mesma intensidade para ambas as fontes
(a) Considere que as ondas têm frequēncias diferentes, de modo que os efeitos de interferência podem ser desprezados.
i.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas fontes sonoras, $ F_1 $ e $ F_2 $, separadas por 10 metros. A potência de $ F_1 $ é $ P_1 = 10 , W $ e a potência de $ F_2 $ é $ P_2 = 4P_1 = 40 , W $. Um detector de som está localizado em algum ponto entre elas, na linha que as une. Queremos descobrir a que distância de $ F_1 $ esse detector deve estar para sentir a mesma intensidade sonora das duas fontes. Vamos usar o conceito de intensidade sonora e como ela varia com a distância.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da intensidade sonora. A intensidade $ I $ de uma onda sonora emitida por uma fonte pontual é dada por:
Onde:
- $ P $ é a potência da fonte sonora.
- $ r $ é a distância do ponto onde estamos medindo a intensidade até a fonte.
- $ 4\pi r^2 $ é a área da superfície esférica onde a energia da onda está distribuída.
Passo 3
Queremos que as intensidades provenientes de $ F_1 $ e $ F_2 $ sejam iguais no detector. Então, podemos igualar as expressões das intensidades das duas fontes:
Aqui, $ x $ é a distância do detector até $ F_1 $, e $ 10 - x $ é a distância até $ F_2 $ (já que a distância total entre as fontes é 10 metros).
Passo 4
Como $ 4\pi $ aparece em ambos os lados da equação, podemos simplificar cancelando esse termo:
Substituindo $ P_2 $ por $ 4P_1 $, temos:
Agora, podemos simplificar $ P_1 $ dos dois lados:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar $ x $. Primeiro, cruzamos os termos:
Expandindo o lado esquerdo:
Movendo todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 3 $
- $ b = 20 $
- $ c = -100 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Então,
Obtendo as duas soluções:
Resposta
O detector de som deve estar a aproximadamente 3,33 metros de $ F_1 $ para medir a mesma intensidade sonora das duas fontes.