Um tubo de polietileno possui 25,4 mm de diâmetro, 32 m de comprimento e 20 m c.a. de pressão no seu início. (a) Estando o tubo na horizontal e com vazão de 4.000 L / h, qual a pressão no seu final? (b) Com vazão de 4.000 L / h e colocando-se o tubo em declive, com 3,2 m de desnível do início para o final do tubo, qual a pressão no seu final? c) Para a posição do tubo no item (b), foram realizadas 40 perfurações espaçadas de 0,8 m, com vazão média de 100 L / h em cada perfuração. Qual a nova pressão no final do tubo? d) Para o item ©, sendo os orifícios com 1,34 mm de diâmetro e coeficiente de descarga igual a 1, qual a pressão média de trabalho no tubo?
Respostas: (a) 13,55 m.c.a.; (b) 16,75 m.c.a.; © 20,88 m.c.a.; (d) 19,77 m.c.a.

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um tubo de polietileno com diâmetro de 25,4 mm, comprimento de 32 metros e uma pressão inicial de 20 metros de coluna d’água (m.c.a). Na parte (a), o tubo está na horizontal e tem uma vazão de 4.000 litros por hora (L/h). Precisamos descobrir qual é a pressão no final do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica, especificamente sobre perda de carga em tubos devido ao atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a vazão de 4.000 L/h para metros cúbicos por segundo (m³/s), já que isso facilita os cálculos:
Q = 4000 , L/h = 40001000 , m³/h = 4 , m³/h = 43600 , m³/s approx 0,00111 , m³/s ³³³³

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade do fluido no tubo. A velocidade $ V $ é dada por:
V
Onde $ A $ é a área da seção transversal do tubo. Primeiro, calculamos $ A $:
V = QA
A ²
A

Passo 4

Para calcular a perda de carga ($ \Delta P $) devido ao atrito no tubo, usamos a fórmula de Darcy-Weisbach:
De
Onde:
  • $ f $ é o fator de atrito
  • $ L $ é o comprimento do tubo
  • $ D $ é o diâmetro do tubo
  • $ \rho $ é a densidade do fluido (água, aproximadamente $ 1000 , kg/m³ $)
  • $ V $ é a velocidade do fluido
Primeiro, precisamos estimar o fator de atrito $ f $. Para tubos lisos como o de polietileno, podemos usar $ f \approx 0,02 $ como uma aproximação.

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula:
De
De
De

Passo 6

Para converter a perda de carga de pascals (Pa) para metros de coluna d’água (m.c.a), usamos a relação:
1 , mca approx 9806,65 , Pa
De

Passo 7

Agora, sabemos que a pressão inicial é de 20 m.c.a e a perda de carga é de aproximadamente 6,18 m.c.a. Então, a pressão final no tubo será:
Pfinal = Pinicial - De

Passo 8

Note que nossa estimativa para o fator de atrito $ f $ foi aproximada. Se usarmos um valor mais preciso ou considerar outros fatores, o resultado pode variar um pouco. No enunciado, a resposta correta é 13,55 m.c.a, então nossa aproximação está bem próxima.

Passo 9

Agora, na parte (b), a situação muda: o tubo está inclinado com um desnível de 3,2 metros do início para o final, mantendo a mesma vazão de 4.000 L/h. Precisamos calcular a nova pressão no final. Além da perda de carga devido ao atrito, devemos considerar a variação de altura.

Passo 10

A perda de carga por atrito já calculada anteriormente foi de aproximadamente 6,18 m.c.a. Agora, vamos calcular a perda ou ganho de carga devido ao desnível ($ \Delta h_{elevação} $).
Como o tubo está em declive, o fluido ganha energia potencial descendo, o que reduz a perda de carga efetiva.
Deçã

Passo 11

Então, a perda de carga total fica:
Deçã

Passo 12

A pressão inicial continua sendo 20 m.c.a. Então, a pressão final será:
Pfinal = Pinicial - De

Passo 13

Novamente, nossa aproximação está um pouco acima da resposta correta de 16,75 m.c.a. Isso pode ser devido à precisão do fator de atrito ou outras simplificações feitas nos cálculos.

Passo 14

Na parte ©, temos que além do tubo inclinado com desnível de 3,2 metros, foram feitas 40 perfurações espaçadas de 0,8 metros, cada uma com uma vazão média de 100 L/h. Queremos saber a nova pressão no final do tubo. Essas perfurações representam vazões de fuga que aumentam a perda de carga total.

Passo 15

Primeiro, vamos calcular a vazão total das perfurações:
Qfugas = 40 times 100 , L/h = 4000 , L/h = 4 , m³/h = 43600 , m³/s approx 0,00111 , m³/s ³³³

Passo 16

A vazão total no tubo passa a ser a vazão inicial menos as fugas:
Qtubo = 4000 , L/h - 4000 , L/h = 0 , L/h
Mas isso não faz sentido físico. Na verdade, as fugas tiram fluido do tubo, então a vazão no tubo continua sendo a vazão inicial, mas há perdas adicionais devido às perfurações.
Uma maneira melhor de olhar isso é considerar que cada perfuração causa uma perda de carga adicional. Mas para simplificar, podemos calcular a perda total de carga pelas perfurações.

Passo 17

A perda de carga total agora inclui a perda no tubo inclinado mais as perdas nas perfurações:
Deçã
Precisamos calcular $ \Delta h_{fugas} $.

Passo 18

Cada perfuração atua como uma válvula que causa uma perda de carga $ h_f $. Se considerarmos que cada fuga tem a mesma perda de carga, podemos somar todas elas:
hf
Assumindo que $ h_f $ seja proporcional à vazão de cada fuga.
Para simplificar, vamos considerar que a perda de carga adicional devido às fugas é igual à soma das perdas individuais.

Passo 19

Sem informações detalhadas sobre como calcular $ h_f $ para cada perfuração, vamos assumir que a perda de carga total aumenta proporcionalmente à vazão total das fugas.
Portanto, podemos estimar que a perda total de carga aumenta em:
hf
Como $ Q_{tubo} = 4000 , L/h $ e $ Q_{fugas} = 4000 , L/h $, então:
De

Passo 20

Então, a perda total de carga será:
De

Passo 21

A pressão final no tubo será:
Pfinal = 20 , mca - 9,96 , mca approx 10,04 , mca
No entanto, a resposta correta segundo o enunciado é 20,88 m.c.a. Isso indica que nossa abordagem simplificada não capturou todas as nuances do problema. Em realidade, a perda de carga adicional devido às fugas pode ser mais complexa e requer considerações mais detalhadas.

Passo 22

Por fim, na parte (d), mantemos as condições do item © mas agora com orifícios de diâmetro de 1,34 mm e coeficiente de descarga igual a 1. Precisamos calcular a pressão média de trabalho no tubo.

Passo 23

O coeficiente de descarga $ C_d $ relaciona a vazão através dos orifícios com a pressão no tubo. A fórmula para a vazão pela equação de Torricelli é:
Cd
Onde:
  • $ Q $ é a vazão
  • $ C_d = 1 $
  • $ A $ é a área do orifício
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $)
  • $ H $ é a pressão convertida em altura de coluna d’água
Rearranjando para $ H $:
Q = Cd cdot A cdot raiz2 g H

Passo 24

Primeiro, calculamos a área de um orifício:
d = 1,34 , mm = 0,00134 , m
A = pi d^24 = pi (0,00134)^24 approx 1,412 times 10^-6 , m² ²

Passo 25

A vazão por cada orifício é de 100 L/h, ou:
Q = 100 , L/h = 1001000 , m³/h = 0,1 , m³/h approx 2,78 times 10^-5 , m³/s ³³³

Passo 26

Substituindo na fórmula para $ H $:
H
H = ( 2,78 times 10^-51 times 1,412 times 10^-6 )^2 cdot 12 times 9,81

Resposta

A pressão média de trabalho no tubo é aproximadamente 19,77 m.c.a.

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