Um tubo de polietileno possui
de diâmetro, 32 m de comprimento e
.a. de pressão no seu início. (a) Estando o tubo na horizontal e com vazão de
, qual a pressão no seu final? (b) Com vazão de
e colocando-se o tubo em declive, com
de desnível do início para o final do tubo, qual a pressão no seu final? c) Para a posição do tubo no item (b), foram realizadas 40 perfurações espaçadas de
, com vazão média de
em cada perfuração. Qual a nova pressão no final do tubo? d) Para o item ©, sendo os orifícios com 1,34 mm de diâmetro e coeficiente de descarga igual a 1, qual a pressão média de trabalho no tubo?
Respostas: (a) 13,55 m.c.a.; (b) 16,75 m.c.a.; © 20,88 m.c.a.; (d) 19,77 m.c.a.
Respostas: (a) 13,55 m.c.a.; (b) 16,75 m.c.a.; © 20,88 m.c.a.; (d) 19,77 m.c.a.
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um tubo de polietileno com diâmetro de 25,4 mm, comprimento de 32 metros e uma pressão inicial de 20 metros de coluna d’água (m.c.a). Na parte (a), o tubo está na horizontal e tem uma vazão de 4.000 litros por hora (L/h). Precisamos descobrir qual é a pressão no final do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica, especificamente sobre perda de carga em tubos devido ao atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a vazão de 4.000 L/h para metros cúbicos por segundo (m³/s), já que isso facilita os cálculos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade do fluido no tubo. A velocidade $ V $ é dada por:
Onde $ A $ é a área da seção transversal do tubo. Primeiro, calculamos $ A $:
Passo 4
Para calcular a perda de carga ($ \Delta P $) devido ao atrito no tubo, usamos a fórmula de Darcy-Weisbach:
Onde:
- $ f $ é o fator de atrito
- $ L $ é o comprimento do tubo
- $ D $ é o diâmetro do tubo
- $ \rho $ é a densidade do fluido (água, aproximadamente $ 1000 , kg/m³ $)
- $ V $ é a velocidade do fluido
Primeiro, precisamos estimar o fator de atrito $ f $. Para tubos lisos como o de polietileno, podemos usar $ f \approx 0,02 $ como uma aproximação.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Passo 6
Para converter a perda de carga de pascals (Pa) para metros de coluna d’água (m.c.a), usamos a relação:
Passo 7
Agora, sabemos que a pressão inicial é de 20 m.c.a e a perda de carga é de aproximadamente 6,18 m.c.a. Então, a pressão final no tubo será:
Passo 8
Note que nossa estimativa para o fator de atrito $ f $ foi aproximada. Se usarmos um valor mais preciso ou considerar outros fatores, o resultado pode variar um pouco. No enunciado, a resposta correta é 13,55 m.c.a, então nossa aproximação está bem próxima.
Passo 9
Agora, na parte (b), a situação muda: o tubo está inclinado com um desnível de 3,2 metros do início para o final, mantendo a mesma vazão de 4.000 L/h. Precisamos calcular a nova pressão no final. Além da perda de carga devido ao atrito, devemos considerar a variação de altura.
Passo 10
A perda de carga por atrito já calculada anteriormente foi de aproximadamente 6,18 m.c.a. Agora, vamos calcular a perda ou ganho de carga devido ao desnível ($ \Delta h_{elevação} $).
Como o tubo está em declive, o fluido ganha energia potencial descendo, o que reduz a perda de carga efetiva.
Passo 11
Então, a perda de carga total fica:
Passo 12
A pressão inicial continua sendo 20 m.c.a. Então, a pressão final será:
Passo 13
Novamente, nossa aproximação está um pouco acima da resposta correta de 16,75 m.c.a. Isso pode ser devido à precisão do fator de atrito ou outras simplificações feitas nos cálculos.
Passo 14
Na parte ©, temos que além do tubo inclinado com desnível de 3,2 metros, foram feitas 40 perfurações espaçadas de 0,8 metros, cada uma com uma vazão média de 100 L/h. Queremos saber a nova pressão no final do tubo. Essas perfurações representam vazões de fuga que aumentam a perda de carga total.
Passo 15
Primeiro, vamos calcular a vazão total das perfurações:
Passo 16
A vazão total no tubo passa a ser a vazão inicial menos as fugas:
Mas isso não faz sentido físico. Na verdade, as fugas tiram fluido do tubo, então a vazão no tubo continua sendo a vazão inicial, mas há perdas adicionais devido às perfurações.
Uma maneira melhor de olhar isso é considerar que cada perfuração causa uma perda de carga adicional. Mas para simplificar, podemos calcular a perda total de carga pelas perfurações.
Passo 17
A perda de carga total agora inclui a perda no tubo inclinado mais as perdas nas perfurações:
Precisamos calcular $ \Delta h_{fugas} $.
Passo 18
Cada perfuração atua como uma válvula que causa uma perda de carga $ h_f $. Se considerarmos que cada fuga tem a mesma perda de carga, podemos somar todas elas:
Assumindo que $ h_f $ seja proporcional à vazão de cada fuga.
Para simplificar, vamos considerar que a perda de carga adicional devido às fugas é igual à soma das perdas individuais.
Passo 19
Sem informações detalhadas sobre como calcular $ h_f $ para cada perfuração, vamos assumir que a perda de carga total aumenta proporcionalmente à vazão total das fugas.
Portanto, podemos estimar que a perda total de carga aumenta em:
Como $ Q_{tubo} = 4000 , L/h $ e $ Q_{fugas} = 4000 , L/h $, então:
Passo 20
Então, a perda total de carga será:
Passo 21
A pressão final no tubo será:
No entanto, a resposta correta segundo o enunciado é 20,88 m.c.a. Isso indica que nossa abordagem simplificada não capturou todas as nuances do problema. Em realidade, a perda de carga adicional devido às fugas pode ser mais complexa e requer considerações mais detalhadas.
Passo 22
Por fim, na parte (d), mantemos as condições do item © mas agora com orifícios de diâmetro de 1,34 mm e coeficiente de descarga igual a 1. Precisamos calcular a pressão média de trabalho no tubo.
Passo 23
O coeficiente de descarga $ C_d $ relaciona a vazão através dos orifícios com a pressão no tubo. A fórmula para a vazão pela equação de Torricelli é:
Onde:
- $ Q $ é a vazão
- $ C_d = 1 $
- $ A $ é a área do orifício
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $)
- $ H $ é a pressão convertida em altura de coluna d’água
Rearranjando para $ H $:
Passo 24
Primeiro, calculamos a área de um orifício:
Passo 25
A vazão por cada orifício é de 100 L/h, ou:
Passo 26
Substituindo na fórmula para $ H $:
Resposta
A pressão média de trabalho no tubo é aproximadamente 19,77 m.c.a.