[2,5 pontos] (1) Encontre todos os pontos, e os seus respectivos valores (imagens), de máximos e mínimos locais de
sujeita à restrição
.
Passo 1
O enunciado pede pra achar os pontos de máximo e mínimo locais da função
sujeitos à restrição
. Vamos usar multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e montamos o sistema de Lagrange. Definimos
. Então
-
, -
,
e impomos
Passo 3
Agora analisamos casos especiais e o caso geral:
• Caso : da segunda equação vem satisfeito, da primeira temos
. Se
,
. Com
surgem os pontos
e
.
• Caso
Passo 4
• Caso
e
: igualamos as expressões de
vindas de cada equação e obtemos, após manipulação algébrica,
Passo 5
Dividindo por
e fazendo
chega-se ao polinômio
Passo 6
Esse cúbico tem três raízes reais aproximadas
Passo 7
Para cada
calculamos
Passo 8
e obtemos numericamente os três pontos adicionais:
Passo 9
Em seguida, avaliamos
em cada ponto crítico:
Passo 10
Passo 11
Por fim classificamos cada ponto observando o sinal de
ou comparando valores próximos:
-
é máximo local com . -
é máximo local (e global) com . -
é mínimo local com . -
é mínimo local (e global) com .
Resposta
Máximos locais em:\( (1,0),,f=3)\ e\( (-0.669,0.742),,f\approx3.268).\Mínimos locais em:\( (0.530,0.850),,f\approx0.921)\ e\( (0.217,-0.976),,f\approx-2.341).