[2,5 pontos] (1) Encontre todos os pontos, e os seus respectivos valores (imagens), de máximos e mínimos locais de f(x, y)=3 x^2-3 x y^2+2 y^3 sujeita à restrição x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede pra achar os pontos de máximo e mínimo locais da função f(x,y)=3x^2-3xy^2+2y^3 sujeitos à restrição x^2+y^2=1. Vamos usar multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e montamos o sistema de Lagrange. Definimos g(x,y)=x^2+y^2-1. Então
  • fx=6x-3y^2, fy=-6xy+6y^2
  • gx=2x, gy=2y
    e impomos
6x-3y^2=2lambda x, -6xy+6y^2=2lambda y, x^2+y^2=1

Passo 3

Agora analisamos casos especiais e o caso geral:
• Caso y=0: da segunda equação vem satisfeito, da primeira temos 6x=2lambda x. Se xneq0, lambda=3. Com x^2=1 surgem os pontos (1,0) e (-1,0).

Passo 4

• Caso yneq0 e xneq0: igualamos as expressões de lambda vindas de cada equação e obtemos, após manipulação algébrica,
2x^2+2x-2xy-y^2=0

Passo 5

Dividindo por x e fazendo t=y/x chega-se ao polinômio
t^3+4t^2-4t-8=0

Passo 6

Esse cúbico tem três raízes reais aproximadas
t1approx1.603, t2approx-1.109, t3approx-4.495

Passo 7

Para cada ti calculamos
xi=-22-2ti-ti^2, yi=ti,xi,

Passo 8

e obtemos numericamente os três pontos adicionais:
(x,y)approx(0.530,0.850),;(-0.669,0.742),;(0.217,-0.976)

Passo 9

Em seguida, avaliamos f em cada ponto crítico:
f(1,0)=3, f(-1,0)=3,

Passo 10

f(0.530,0.850)approx0.921, f(-0.669,0.742)approx3.268, f(0.217,-0.976)approx-2.341

Passo 11

Por fim classificamos cada ponto observando o sinal de f''(theta) ou comparando valores próximos:
  • (1,0) é máximo local com f=3.
  • (-0.669,0.742) é máximo local (e global) com fapprox3.268.
  • (0.530,0.850) é mínimo local com fapprox0.921.
  • (0.217,-0.976) é mínimo local (e global) com fapprox-2.341.

Resposta

Máximos locais em:\( (1,0),,f=3)\ e\( (-0.669,0.742),,f\approx3.268).\Mínimos locais em:\( (0.530,0.850),,f\approx0.921)\ e\( (0.217,-0.976),,f\approx-2.341).

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