Para cada uma das funções abaixo, calcule sua derivada f^prime usando a definição:
© f(x)=cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=cos x usando a definição de derivada por limite. Aqui o conteúdo é cálculo diferencial e vamos precisar da definição f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h e de identidades trigonométricas para transformar cos(x+h). Também usaremos os limites clássicos limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição de derivada para f(x)=cos x:
f'(x)=limhto0cos(x+h)-cos xh

Passo 3

Aplicamos a identidade de soma de cossenos:
cos(x+h)=cos xcos h-sin xsin h
Substituindo na expressão do numerador, temos:
cos(x+h)-cos x=l(cos xcos h-sin xsin hr)-cos x

Passo 4

Fatoramos cos x no primeiro termo e separamos o sin x no segundo:
cos(x+h)-cos x=cos x,(cos h-1)-sin x,sin h
Logo a derivada fica
f'(x)=limhto0cos x,(cos h-1)-sin x,sin hh

Passo 5

Dividimos o limite em duas partes:
f'(x)=cos xlimhto0cos h-1h-sin xlimhto0sin hh

Passo 6

Agora usamos os limites conhecidos:
  • limhto0sin hh=1
  • limhto0cos h-1h=0
Substituindo, obtemos
f'(x)=cos xcdot0-sin xcdot1=-sin x

Resposta

f’(x) = -\sin x

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