[2,5 pontos] (4) Monte uma integral tripla para calcular o volume do sólido E contido no cilindro x^2+y^2=4 e limitado pelos planos x+z=7 e y+z=3.

Passo 1

Estamos montando uma integral tripla para o volume do sólido E contido no cilindro x²+y²=4 e limitado pelos planos x+z=7 e y+z=3. O conteúdo aqui é volume via integral tripla, e vamos precisar reescrever os planos em função de z e projetar o sólido no plano xy.

Passo 2

Reescrevendo os planos:
O plano x+z=7 dá z=7−x e o plano y+z=3 dá z=3−y. No disco x²+y²≤4, nota-se que 7−x ≥ 3−y para todos os (x,y) em D, logo o limite inferior de z é z_inf=3−y e o superior z_sup=7−x.

Passo 3

O domínio projetado no plano xy é D: x²+y²≤4, que é o interior do círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 4

A integral tripla em coordenadas cartesianas fica:
integral triplaE dV = integral duplax^2+y^2<=4 gl(integralz=3-y^7-x dzgr) dA

Passo 5

Convertendo para coordenadas cilíndricas usando x=r\cosθ, y=r\sinθ e dA=r dr dθ, obtemos:
V = integralθ=0^2piintegralr=0^2integralz=3-rsinθ^7-rcosθ r,dz,dr,dθ

Resposta

V = integral0^2piintegral0^2integral3 - rsintheta^7 - rcostheta r,dz,dr,dtheta

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