[2,5 pontos] (4) Monte uma integral tripla para calcular o volume do sólido E contido no cilindro
e limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Estamos montando uma integral tripla para o volume do sólido E contido no cilindro x²+y²=4 e limitado pelos planos x+z=7 e y+z=3. O conteúdo aqui é volume via integral tripla, e vamos precisar reescrever os planos em função de z e projetar o sólido no plano xy.
Passo 2
Reescrevendo os planos:
O plano x+z=7 dá z=7−x e o plano y+z=3 dá z=3−y. No disco x²+y²≤4, nota-se que 7−x ≥ 3−y para todos os (x,y) em D, logo o limite inferior de z é z_inf=3−y e o superior z_sup=7−x.
O plano x+z=7 dá z=7−x e o plano y+z=3 dá z=3−y. No disco x²+y²≤4, nota-se que 7−x ≥ 3−y para todos os (x,y) em D, logo o limite inferior de z é z_inf=3−y e o superior z_sup=7−x.
Passo 3
O domínio projetado no plano xy é D: x²+y²≤4, que é o interior do círculo de raio 2 centrado na origem.
Passo 4
A integral tripla em coordenadas cartesianas fica:
Passo 5
Convertendo para coordenadas cilíndricas usando x=r\cosθ, y=r\sinθ e dA=r dr dθ, obtemos: