pontos
Esboce no plano
o traço do sólido delimitado pela metade da frente
do cilindro
, pelo cone
, e pelos planos
e
. Escreva uma integral, em coordenadas polares, que represente o volume do sólido. Não resolva a integral
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar os conceitos que vamos usar. Precisamos esboçar, no plano
, o traço de um sólido que é limitado por:
- A metade da frente (onde
) do cilindro . - O cone
. - Os planos
e .
Depois, precisamos escrever uma integral que represente o volume desse sólido usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa traçar o sólido no plano
. Isso significa que vamos cortar o sólido pelo plano onde
e observar a interseção.
No plano
:
- O cilindro
se reduz a , ou seja, . Como consideramos , ficamos com . - O cone
se reduz a , ou seja, . - Os planos
e permanecem como estão.
Passo 3
Vamos esboçar o traço no plano
. No eixo
:
- A projeção do cilindro é a reta vertical em
. - A projeção do cone são as linhas
e . - O plano
corresponde ao eixo . - O plano
corresponde ao eixo .
Então, o traço será a região limitada entre
e
, e entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
-
-
- O elemento de área é
Como estamos considerando a metade frontal do cilindro (
), o ângulo
varia de
a
.
Passo 5
Determinar os limites de integração para
e
:
-
vai de 0 até o raio do cilindro, que é 2. -
vai de a . - Para cada
e , varia de 0 até (do plano ao cone ).
Resposta
A integral em coordenadas polares que representa o volume do sólido é: