[2 pontos ] Esboce no plano y=0 o traço do sólido delimitado pela metade da frente (x >= 0) do cilindro x^2+y^2=4, pelo cone z^2=x^2+y^2, e pelos planos x=0 e z=0. Escreva uma integral, em coordenadas polares, que represente o volume do sólido. Não resolva a integral

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar os conceitos que vamos usar. Precisamos esboçar, no plano , o traço de um sólido que é limitado por:
  • A metade da frente (onde ) do cilindro .
  • O cone .
  • Os planos e .
Depois, precisamos escrever uma integral que represente o volume desse sólido usando coordenadas polares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa traçar o sólido no plano . Isso significa que vamos cortar o sólido pelo plano onde e observar a interseção.
No plano :
  • O cilindro se reduz a , ou seja, . Como consideramos , ficamos com .
  • O cone se reduz a , ou seja, .
  • Os planos e permanecem como estão.

Passo 3

Vamos esboçar o traço no plano . No eixo :
  • A projeção do cilindro é a reta vertical em .
  • A projeção do cone são as linhas e .
  • O plano corresponde ao eixo .
  • O plano corresponde ao eixo .
Então, o traço será a região limitada entre e , e entre e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
  • O elemento de área é
Como estamos considerando a metade frontal do cilindro ( ), o ângulo varia de a .

Passo 5

Determinar os limites de integração para e :
  • vai de 0 até o raio do cilindro, que é 2.
  • vai de a .
  • Para cada e , varia de 0 até (do plano ao cone ).

Resposta

A integral em coordenadas polares que representa o volume do sólido é:
V = integral-pi2^pi2 integral0^2 integral0^r r , dz , dr , dtheta

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