Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 4 km , a 475 km / h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 5 km além da estação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um avião que está voando a uma altura constante de 4 km e se movendo a uma velocidade de 475 km/h. Ele passa diretamente sobre uma estação de radar. A gente precisa descobrir com que rapidez a distância entre o avião e a estação está aumentando quando o avião já está a 5 km além da estação. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de matemática, mais especificamente cálculo relacionado a taxas de variação e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a estação de radar está no chão e o avião voa numa trajetória horizontal constante acima dela. Quando o avião está a uma distância horizontal km da estação, a distância direta entre eles forma a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde:
  • Um cateto é a altura do avião: km.
  • O outro cateto é a distância horizontal: km.
  • A hipotenusa é a distância direta entre o avião e a estação: km.

Passo 3

Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que:
D = raizx^2 + h^2
Onde:
  • é a distância entre o avião e a estação.
  • é a distância horizontal do avião em relação à estação.
  • é a altura fixa do avião.

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, , quando o avião está a km além da estação. Sabemos que a velocidade horizontal do avião é km/h.

Passo 5

Vamos diferenciar a equação de dDdt = ddt ( raizx^2 + h^2 ) em relação ao tempo dDdt = 12raizx^2 + h^2 cdot 2x cdot dxdt :
dDdt = xraizx^2 + h^2 cdot dxdt
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
  • raiz5^2 + 4^2 = raiz25 + 16 = raiz41 approx 6,403 km km
  • km
  • km/h
Primeiro, calculamos :

Passo 7

Agora, substituindo na fórmula de dDdt = 56,403 cdot 475 approx 0,7809 cdot 475 approx 370,4 km/h :

Resposta

A taxa de aumento da distância entre o avião e a estação é aproximadamente 370,4 km/h quando o avião está a 5 km além da estação.

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