Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 4 km , a
, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 5 km além da estação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um avião que está voando a uma altura constante de 4 km e se movendo a uma velocidade de 475 km/h. Ele passa diretamente sobre uma estação de radar. A gente precisa descobrir com que rapidez a distância entre o avião e a estação está aumentando quando o avião já está a 5 km além da estação. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de matemática, mais especificamente cálculo relacionado a taxas de variação e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a estação de radar está no chão e o avião voa numa trajetória horizontal constante acima dela. Quando o avião está a uma distância horizontal
km da estação, a distância direta entre eles forma a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde:
- Um cateto é a altura do avião:
km. - O outro cateto é a distância horizontal:
km. - A hipotenusa é a distância direta entre o avião e a estação:
km.
Passo 3
Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que:
Onde:
-
é a distância entre o avião e a estação. -
é a distância horizontal do avião em relação à estação. -
é a altura fixa do avião.
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
, quando o avião está a
km além da estação. Sabemos que a velocidade horizontal do avião é
km/h.
Passo 5
Vamos diferenciar a equação de
em relação ao tempo
:
Usando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
-
km -
km -
km/h
Primeiro, calculamos
:
Passo 7
Agora, substituindo na fórmula de
:
Resposta
A taxa de aumento da distância entre o avião e a estação é aproximadamente 370,4 km/h quando o avião está a 5 km além da estação.