[2,5 pontos ] Um feixe de luz nāo polarizada, de intensidade I_{0}=120 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, incide do ar ( n_{1}=1,00 ) sobre uma superficie plana de vidro ( n_{2}=1,50 ) com o Angulo de Brewster. A luz refletida tem intensidade de I_{R}=8,9 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, e atravessa, em seguida, dois polarizadores ideais P_{1} e P_{2}, onde o eixo de P_{1} é perpendicular ao plano de incidência, e o eixo de P_{2} faz um angulo de 45^{\circ} com a eixo de P_{1}. Considere que, no angulo de Brewster:
\tan \left(\theta_{B}\right)=\frac{n_{2}}{n_{1}}

Determine:

a. [0,6] \mathrm{O} valor do ângulo de Brewster.
b. [0,7] Determine qualitativamente a díreçāo de polarizaçāo da luź refletida, indicando o ângulo que o vetor campo elétrico faz em relaçāo ao plano de incidência, e justifique sua resposta.
c. [0,6] A intensidade da luz após atravessar o polarizador P_{1}.
d. [0,6] A intensidade final após atravessar os dois polarizadores.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
Dados fornecidos:
  • Intensidade do feixe não polarizado incidente: I_{0}=120\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Índices de refração: n_{1}=1{,}00 (ar) e n_{2}=1{,}50 (vidro).
  • A luz incide sobre a superfície no ângulo de Brewster, definido por \tan(\theta_{B})=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}.
  • Intensidade da luz refletida (logo após a reflexão, antes dos polarizadores): I_{R}=8{,}9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Depois da reflexão o feixe passa por dois polarizadores ideais P_{1} e P_{2}:
    • O eixo de P_{1} é perpendicular ao plano de incidência.
    • O eixo de P_{2} está a 45^\circ em relação ao eixo de P_{1}.
O que o enunciado pede:
a. O valor numérico do ângulo de Brewster \theta_{B}.
b. Qualitativamente a direção da polarização da luz refletida: indicar o ângulo que o vetor campo elétrico faz em relação ao plano de incidência e justificar.
c. A intensidade da luz após atravessar o polarizador P_{1}.
d. A intensidade final após atravessar os dois polarizadores P_{1} e P_{2}.

Passo 2

Calcular o ângulo de Brewster usando a relação dada. A relação é
\tan(\theta_{B})=\frac{n_{2}}{n_{1}}.
Substituindo n_{2}=1{,}50 e n_{1}=1{,}00:
\tan(\theta_{B})=1{,}50.
Agora invertendo a tangente:
\theta_{B}=\arctan(1{,}50).
Avaliação numérica (usar tabela, calculadora ou conhecimento de arctan):
\theta_{B}\approx 56{,}31^\circ.

Passo 3

Explicar o que acontece com a polarização no ângulo de Brewster (justificativa didática).
  • Definição prática: o plano de incidência é o plano formado pelo raio incidente e a normal à superfície. Chamamos de componente “p” (parallel) a componente do campo elétrico que está no plano de incidência e “s” (senkrecht, do alemão) a componente perpendicular ao plano de incidência.
  • Resultado físico em Brewster: quando a luz incide no ângulo de Brewster a componente p da luz tem coeficiente de reflexão nulo (isto é, r_{p}=0), portanto a componente refletida na direção p é zero.
  • Consequência: a luz refletida contém apenas a componente s, ou seja, o campo elétrico da luz refletida é perpendicular ao plano de incidência.
  • Em termos de ângulo entre vetor \mathbf{E} e o plano de incidência: ser “perpendicular ao plano” significa que o vetor \mathbf{E} forma um ângulo de 90^\circ com o plano de incidência.
  • Resumo didático curto: no ângulo de Brewster a reflexão elimina a componente paralela ao plano, sobrando só a perpendicular; por isso a luz refletida é linearmente polarizada com \mathbf{E} perpendicular ao plano de incidência.

Passo 4

Entender como usar a intensidade dada I_{R} e a luz não polarizada inicial para interpretar componentes.
  • Luz não polarizada pode ser vista como contendo, em média, metades das intensidades nas duas polarizações ortogonais s e p. Assim cada componente tem intensidade incidente
I_{0,s}=I_{0,p}=\frac{I_{0}}{2}=\frac{120}{2}=60\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • No ângulo de Brewster a componente p refletida é nula; portanto toda a intensidade refletida vem da componente s. Se chamarmos R_{s} a refletância para s, então
I_{R}=R_{s}\cdot I_{0,s}=R_{s}\cdot 60.
  • Podemos calcular R_{s} a partir de I_{R}=8{,}9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}:
R_{s}=\frac{I_{R}}{60}=\frac{8{,}9}{60}\approx 0{,}1483.
(Isto é um número útil para entender quanta fração da componente s é refletida, mas não é pedido diretamente; serve para intuição.)

Passo 5

Determinar a intensidade após o polarizador P_{1}.
  • Lembrete sobre polarizador ideal e Malus: se a luz incidente está linearmente polarizada numa direção que forma um ângulo \varphi com o eixo de transmissão do polarizador, a intensidade transmitida é dada por a Lei de Malus:
I_{\text{trans}}=I_{\text{inc}}\cos^{2}(\varphi).
  • Aqui: a luz refletida é polarizada na direção s (perpendicular ao plano de incidência). O eixo de P_{1} foi declarado perpendicular ao plano de incidência — ou seja, o eixo de P_{1} está alinhado exatamente com a direção de polarização da luz refletida. Portanto \varphi=0^\circ.
  • Aplicando Malus com \varphi=0^\circ:
\cos^{2}(0^\circ)=1,
portanto P_{1} transmite toda a intensidade incidente sobre ele.
  • Logo a intensidade após P_{1} é igual à intensidade refletida dada:
I_{P_{1}}=I_{R}=8{,}9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Determinar a intensidade final após atravessar os dois polarizadores ( P_{1} seguido de P_{2}).
  • O eixo de P_{2} faz um ângulo de 45^\circ com o eixo de P_{1}. Como a luz que chega em P_{2} está polarizada segundo o eixo de P_{1}, o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente em P_{2} e o eixo de P_{2} é \varphi=45^\circ.
  • Aplicando a Lei de Malus para P_{2}:
I_{\text{final}}=I_{P_{1}}\cos^{2}(45^\circ).
  • Sabendo que \cos(45^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, obtemos
\cos^{2}(45^\circ)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}.
  • Portanto
I_{\text{final}}=8{,}9\times\frac{1}{2}=4{,}45\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Resposta

a. \theta_{B}\approx 56{,}31^\circ
b. A luz refletida é linearmente polarizada com o campo elétrico perpendicular ao plano de incidência (isto é, forma um ângulo de 90^\circ com o plano de incidência), porque no ângulo de Brewster a componente p paralela ao plano tem reflexão nula.
c. 8{,}9\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
d. 4{,}45\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

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