Um arranjo de cargas elétricas estacionárias é composto por uma esfera maciça de raio
, com densidade volumar de carga uniforme
, e uma casca esférica (bidimensional) de raio
, com densidade superficial de carga uniforme
, sendo ambos os corpos concêntricos com a origem. Considere que o fluxo do campo elétrico gerado pelo arranjo de cargas através de uma superfície cúbica, de lado
, concêntrica com a origem, é nulo. Determine a relação entre
e
, sob a condição
(a esfera maciça está no interior da casca enquanto o cubo envolve a casca).
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Há uma esfera maciça, concêntrica com a origem, de raio
e densidade volumar de carga uniforme . - Há uma casca esférica (espessura desprezível), concêntrica com a origem, de raio
e densidade superficial de carga uniforme . - Existe uma superfície cúbica fechada (um cubo) de lado
, também concêntrica com a origem. - A condição geométrica dada é
. - O fluxo do campo elétrico através do cubo é nulo.
O enunciado pede: determinar a relação entre
e
compatível com o fato de o fluxo pelo cubo ser zero, sob a condição geométrica dada.
Passo 2
Regra física que vamos usar: a Lei de Gauss para o campo elétrico. Ela diz que o fluxo total do campo elétrico
através de qualquer superfície fechada
é igual à carga total
contida no interior da superfície dividida por
. Em fórmula:
Explicando as quantidades:
-
é o fluxo elétrico através da superfície fechada. -
é o campo elétrico. -
é o elemento de área vetorial da superfície fechada (módulo igual à área infinitesimal e direção normal para fora). -
é a carga total dentro da superfície. -
é a permissividade do vácuo (constante).
Importante: a forma da superfície fechada não importa: a Lei de Gauss vale para qualquer superfície fechada. Se
, então necessariamente
.
Passo 3
Determinar o que está contido dentro do cubo usando a condição geométrica.
- O semi-lado do cubo é
. A condição implica . Como o cubo e as esferas são concêntricos, isso significa que as faces do cubo estão situadas fora do raio ; portanto o cubo contém completamente a casca esférica de raio . - Como
implica , a casca envolve a esfera maciça; logo a esfera de raio também está totalmente dentro do cubo.
Conclusão: o cubo, sendo maior que a casca, contém integralmente tanto a esfera volumétrica quanto a casca superficial. Então a carga total dentro do cubo é simplesmente a soma da carga da esfera maciça e da carga da casca.
Passo 4
Calcular a carga da esfera maciça (volume) e da casca (superfície).
- Carga da esfera maciça (densidade volumar uniforme
). A carga total de um corpo com densidade volumar uniforme é a densidade vezes o volume. O volume de uma esfera de raio é . Logo:
Expliquei:
é carga por unidade de volume; multiplicando pelo volume obtém-se a carga total da esfera.
- Carga da casca esférica (densidade superficial uniforme
). A carga total numa superfície é a densidade superficial vezes a área. A área de uma esfera de raio é . Logo:
Aqui
é carga por unidade de área; multiplicando pela área da casca obtém-se a carga total da casca.
Passo 5
Impor que o fluxo pelo cubo é nulo e usar isso para obter a relação entre
e
.
Pelo enunciado, o fluxo através do cubo é nulo, então pela Lei de Gauss a carga total dentro do cubo é zero:
Substituindo as expressões obtidas no passo anterior:
Podemos simplificar dividindo por
(não zero):
Multiplicando por
para ficar mais claro:
Finalmente isolando
e
na forma pedida:
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, para o fluxo total ser zero, se a densidade de carga volumétrica
for positiva então a densidade superficial
deve ser negativa (e vice-versa), de modo que as cargas totais se cancelem.
Resposta
(f)