Um arranjo de cargas elétricas estacionárias é composto por uma esfera maciça de raio a, com densidade volumar de carga uniforme \rho, e uma casca esférica (bidimensional) de raio b, com densidade superficial de carga uniforme \sigma, sendo ambos os corpos concêntricos com a origem. Considere que o fluxo do campo elétrico gerado pelo arranjo de cargas através de uma superfície cúbica, de lado c, concêntrica com a origem, é nulo. Determine a relação entre \rho e \sigma, sob a condição c>2 b>2 a (a esfera maciça está no interior da casca enquanto o cubo envolve a casca).
(a) b c \rho=a \sigma.
(b) b c \rho=-a \sigma.
(c) c \rho=3 \sigma.
(d) \quad c \rho=-3 \sigma.
(e) \quad a^{3} \rho=3 b^{2} \sigma.
(f) \quad a^{3} \rho=-3 b^{2} \sigma.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Há uma esfera maciça, concêntrica com a origem, de raio a e densidade volumar de carga uniforme \rho.
  • Há uma casca esférica (espessura desprezível), concêntrica com a origem, de raio b e densidade superficial de carga uniforme \sigma.
  • Existe uma superfície cúbica fechada (um cubo) de lado c, também concêntrica com a origem.
  • A condição geométrica dada é c>2b>2a.
  • O fluxo do campo elétrico através do cubo é nulo.
O enunciado pede: determinar a relação entre \rho e \sigma compatível com o fato de o fluxo pelo cubo ser zero, sob a condição geométrica dada.

Passo 2

Regra física que vamos usar: a Lei de Gauss para o campo elétrico. Ela diz que o fluxo total do campo elétrico \mathbf{E} através de qualquer superfície fechada S é igual à carga total Q_{\text{int}} contida no interior da superfície dividida por \varepsilon_0. Em fórmula:
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Explicando as quantidades:
  • \Phi é o fluxo elétrico através da superfície fechada.
  • \mathbf{E} é o campo elétrico.
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada (módulo igual à área infinitesimal e direção normal para fora).
  • Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante).
Importante: a forma da superfície fechada não importa: a Lei de Gauss vale para qualquer superfície fechada. Se \Phi=0, então necessariamente Q_{\text{int}}=0.

Passo 3

Determinar o que está contido dentro do cubo usando a condição geométrica.
  • O semi-lado do cubo é c/2. A condição c>2b implica c/2>b. Como o cubo e as esferas são concêntricos, isso significa que as faces do cubo estão situadas fora do raio b; portanto o cubo contém completamente a casca esférica de raio b.
  • Como 2b>2a implica b>a, a casca envolve a esfera maciça; logo a esfera de raio a também está totalmente dentro do cubo.
Conclusão: o cubo, sendo maior que a casca, contém integralmente tanto a esfera volumétrica quanto a casca superficial. Então a carga total dentro do cubo é simplesmente a soma da carga da esfera maciça e da carga da casca.

Passo 4

Calcular a carga da esfera maciça (volume) e da casca (superfície).
  • Carga da esfera maciça (densidade volumar uniforme \rho). A carga total de um corpo com densidade volumar uniforme é a densidade vezes o volume. O volume de uma esfera de raio a é \tfrac{4}{3}\pi a^{3}. Logo:
Q_{\text{esfera}}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}.
Expliquei: \rho é carga por unidade de volume; multiplicando pelo volume obtém-se a carga total da esfera.
  • Carga da casca esférica (densidade superficial uniforme \sigma). A carga total numa superfície é a densidade superficial vezes a área. A área de uma esfera de raio b é 4\pi b^{2}. Logo:
Q_{\text{casca}}=\sigma\cdot 4\pi b^{2}.
Aqui \sigma é carga por unidade de área; multiplicando pela área da casca obtém-se a carga total da casca.

Passo 5

Impor que o fluxo pelo cubo é nulo e usar isso para obter a relação entre \rho e \sigma.
Pelo enunciado, o fluxo através do cubo é nulo, então pela Lei de Gauss a carga total dentro do cubo é zero:
Q_{\text{int}}=Q_{\text{esfera}}+Q_{\text{casca}}=0.
Substituindo as expressões obtidas no passo anterior:
\rho\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}+\sigma\cdot 4\pi b^{2}=0.
Podemos simplificar dividindo por 4\pi (não zero):
\rho\cdot\frac{1}{3}a^{3}+\sigma\,b^{2}=0.
Multiplicando por 3 para ficar mais claro:
\rho\,a^{3}+3\,\sigma\,b^{2}=0.
Finalmente isolando \rho e \sigma na forma pedida:
a^{3}\rho=-3\,b^{2}\sigma.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, para o fluxo total ser zero, se a densidade de carga volumétrica \rho for positiva então a densidade superficial \sigma deve ser negativa (e vice-versa), de modo que as cargas totais se cancelem.

Resposta

(f) a^{3}\rho=-3 b^{2}\sigma

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