QUESTÃO 3: Considere o seguinte modelo em espaço de estado:
\begin{aligned} & \dot{x}=\left[\begin{array}{cc} -6 & 1 \\\\ -15 & 2 \end{array}\right] \underline{x}+\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \end{array}\right] u \\\ & y=\left[\begin{array}{ll} 1 & 5 \end{array}\right] \underline{x}+[d] u \end{aligned}
Levando-se em conta o modelo fornecido, responda:
a) ( 0,5 \mathrm{p}.) qual deverá ser o valor de d para que a o ganho no diagrama de Bode em alta frequência seja constante e de -8 dB ?
b) (1,0 p.) caso seja adotado um novo vetor de estados:
\underline{x}_{N}=\binom{x_{1 N}}{x_{2 N}}=\binom{3 x_{2}+x_{1}}{4 x_{2}}
qual deverá ser a matriz de transformação de similaridade para o novo vetor de estados? c) (1,0 p.) qual deverá ser a realização de sistema com a matriz de estados diagonalizada?

Passo 1

O enunciado dá o modelo estado‑espaço
\dot{\underline{x}}=A\underline{x}+B u,\qquad y=C\underline{x}+d\,u,
com
A=\begin{pmatrix}-6 & 1\\[4pt]-15 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 5\end{pmatrix},\qquad D=d.
As perguntas são:
(a) qual valor de d para que o ganho no diagrama de Bode em alta frequência seja constante e igual a -8\\ \text{dB}?
(b) dado o novo vetor de estados
\underline{x}_N=\begin{pmatrix}x_{1N}\\[4pt]x_{2N}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3x_2+x_1\\[4pt]4x_2\end{pmatrix},
qual é a matriz de transformação de similaridade que relaciona \underline{x}_N com \underline{x}?
(c) qual é a realização do sistema com a matriz de estados diagonalizada (isto é, encontrar a transformação que diagonaliza A e escrever as matrizes correspondentes)?]

Passo 2

Entendimento rápido do ganho em alta frequência (parte a).
A função de transferência do sistema em termos de s é
G(s)=C(sI-A)^{-1}B + D.
Para frequências muito altas (ou seja, |s|\to\infty) o termo C(sI-A)^{-1}B tende a zero porque (sI-A)^{-1}=O(1/s). Logo
\lim_{|s|\to\infty}G(s)=D.
Portanto o ganho em alta frequência é simplesmente o valor do termo direto D=d. Isso significa que para impor um ganho em alta frequência igual a -8\\ \text{dB} basta escolher d com módulo adequado, pois magnitudes em dB são dadas por 20\log_{10}|\,\cdot\,|.

Passo 3

Cálculo explícito de d (parte a).
Queremos 20\log_{10}|d|=-8. Isolando |d|:
|d|=10^{-8/20}=10^{-0{,}4}.
Calculando numericamente,
10^{-0{,}4}\approx 0{,}398107\ldots
Na prática normalmente escolhe‑se d real e positivo para que a magnitude no Bode seja -8\\ \text{dB}. Logo
d \approx 0{,}3981.
(Se alguém pedisse apenas a magnitude, poderia tomar d=\pm 0{,}3981, pois a magnitude é a mesma.)

Passo 4

Determinar a matriz de transformação para o novo vetor de estados (parte b).
A relação dada é
\begin{aligned} x_{1N}&=x_1+3x_2,\\[4pt] x_{2N}&=0\cdot x_1+4x_2. \end{aligned}
Escrevendo em forma matricial \underline{x}_N=T\underline{x} com \underline{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}, obtemos
T=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Portanto T é a matriz de transformação pedida. Se for preciso a transformação inversa para voltar a \underline{x} a partir de \underline{x}_N, calcula‑se T^{-1}. Como \det T=1\cdot4-3\cdot0=4,
T^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}4 & -3\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{3}{4}\\[4pt]0 & \tfrac{1}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Diagonalização de A (parte c) — passo a passo didático.
Primeiro, calcular valores próprios de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0. O polinômio característico é
\det\!\begin{pmatrix}-6-\lambda & 1\\[4pt]-15 & 2-\lambda\end{pmatrix} =( -6-\lambda)(2-\lambda)-(-15)\,.
Desenvolvendo:
(-6-\lambda)(2-\lambda)+15=\lambda^2+4\lambda+3.
Portanto os autovalores são raízes de \lambda^2+4\lambda+3=0, ou seja
\lambda_{1}=-1,\qquad \lambda_{2}=-3.
Como são distintos, A é diagonalizável.]

Passo 6

Encontrar autovetores e montar a matriz de mudança de base P.
Para \lambda_1=-1 resolvemos (A+I)v=0:
\begin{pmatrix}-5 & 1\\[4pt]-15 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=0 \quad\Rightarrow\quad -5v_1+v_2=0\Rightarrow v_2=5v_1.
Tomando v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-3 resolvemos (A+3I)v=0:
\begin{pmatrix}-3 & 1\\[4pt]-15 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=0 \quad\Rightarrow\quad -3v_1+v_2=0\Rightarrow v_2=3v_1.
Tomando v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Colocando esses autovetores como colunas obtemos
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix},
que satisfaz P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,-3).]

Passo 7

Calcular P^{-1} e as matrizes transformadas A_{\text{diag}},B_{\text{diag}},C_{\text{diag}}.
Determinante de P é \det P=1\cdot3-1\cdot5=-2. Assim
P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-5 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
A matriz de estados diagonal é
A_{\text{diag}}=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
A transformação dos vetores fica (usando a convenção \underline{x}=P\underline{x}_{\text{diag}} e \underline{x}_{\text{diag}}=P^{-1}\underline{x}):
B_{\text{diag}}=P^{-1}B,\qquad C_{\text{diag}}=C P.
Calculemos explicitamente B_{\text{diag}}:
B_{\text{diag}}=P^{-1}B =\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{5}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}\cdot2\\[6pt]\tfrac{5}{2}\cdot1-\tfrac{1}{2}\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.
E C_{\text{diag}}:
C_{\text{diag}}=C P=\begin{pmatrix}1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+25 & 1+15\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}26 & 16\end{pmatrix}.]

Passo 8

Escrever a realização diagonalizada final (parte c completa).
Usando as matrizes encontradas, a realização em coordenadas diagonais \underline{x}_{\text{diag}} é
\dot{\underline{x}}_{\text{diag}} =A_{\text{diag}}\underline{x}_{\text{diag}}+B_{\text{diag}}\,u, \qquad y=C_{\text{diag}}\underline{x}_{\text{diag}}+d\,u,
com
A_{\text{diag}}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix},\quad B_{\text{diag}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix},\quad C_{\text{diag}}=\begin{pmatrix}26 & 16\end{pmatrix},\quad d\approx 0{,}3981.]

Resposta

(a) d=10^{-0{,}4}\approx 0{,}3981
(b) T=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}
(c) A_{\text{diag}}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix},\quad B_{\text{diag}}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{2}\end{pmatrix},\quad C_{\text{diag}}=\begin{pmatrix}26 & 16\end{pmatrix},\quad D=d\approx 0{,}3981]

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