Levando-se em conta o modelo fornecido, responda:
a) ( 0,5 \mathrm{p}.) qual deverá ser o valor de d para que a o ganho no diagrama de Bode em alta frequência seja constante e de -8 dB ?
b) (1,0 p.) caso seja adotado um novo vetor de estados:
qual deverá ser a matriz de transformação de similaridade para o novo vetor de estados? c) (1,0 p.) qual deverá ser a realização de sistema com a matriz de estados diagonalizada?
As perguntas são:
(a) qual valor de d para que o ganho no diagrama de Bode em alta frequência seja constante e igual a -8\\ \text{dB}?
(b) dado o novo vetor de estados
qual é a matriz de transformação de similaridade que relaciona \underline{x}_N com \underline{x}?
(c) qual é a realização do sistema com a matriz de estados diagonalizada (isto é, encontrar a transformação que diagonaliza A e escrever as matrizes correspondentes)?]
Passo 2
Entendimento rápido do ganho em alta frequência (parte a).
A função de transferência do sistema em termos de s é
G(s)=C(sI-A)^{-1}B + D.
Para frequências muito altas (ou seja, |s|\to\infty) o termo C(sI-A)^{-1}B tende a zero porque (sI-A)^{-1}=O(1/s). Logo
\lim_{|s|\to\infty}G(s)=D.
Portanto o ganho em alta frequência é simplesmente o valor do termo direto D=d. Isso significa que para impor um ganho em alta frequência igual a -8\\ \text{dB} basta escolher d com módulo adequado, pois magnitudes em dB são dadas por 20\log_{10}|\,\cdot\,|.
Passo 3
Cálculo explícito de d (parte a).
Queremos 20\log_{10}|d|=-8. Isolando |d|:
|d|=10^{-8/20}=10^{-0{,}4}.
Calculando numericamente,
10^{-0{,}4}\approx 0{,}398107\ldots
Na prática normalmente escolhe‑se d real e positivo para que a magnitude no Bode seja -8\\ \text{dB}. Logo
d \approx 0{,}3981.
(Se alguém pedisse apenas a magnitude, poderia tomar d=\pm 0{,}3981, pois a magnitude é a mesma.)
Passo 4
Determinar a matriz de transformação para o novo vetor de estados (parte b).
A relação dada é
Escrevendo em forma matricial \underline{x}_N=T\underline{x} com \underline{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}, obtemos
T=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.
Portanto T é a matriz de transformação pedida. Se for preciso a transformação inversa para voltar a \underline{x} a partir de \underline{x}_N, calcula‑se T^{-1}. Como \det T=1\cdot4-3\cdot0=4,
Diagonalização de A (parte c) — passo a passo didático.
Primeiro, calcular valores próprios de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0. O polinômio característico é
Escrever a realização diagonalizada final (parte c completa).
Usando as matrizes encontradas, a realização em coordenadas diagonais \underline{x}_{\text{diag}} é