Exercício 2.5.14. Dados os sub-espaços de
calcular as dimensões dos sub-espaços
e
, e determinar uma base para eles.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
e pede a dimensão de
e de
, além de uma base para cada um. Vamos usar o fato de que cada equação linear reduz em 1 o grau de liberdade em
e parametrizar as variáveis livres para achar as bases.
Passo 2
Para achar
e uma base de
, note que
é definido pela única equação
As variáveis livres são
e
. Escrevendo um vetor genérico de
em função de
e
:
Logo,
é um plano de dimensão 2 e uma base conveniente é
Passo 3
Agora
consiste dos vetores que satisfazem simultaneamente
Da segunda equação vem
, e da primeira continua
. Então todo vetor de
é da forma
Há apenas um parâmetro livre (
), então
e uma base para
é