Exercício 2.5.14. Dados os sub-espaços de R^3
V=(x, y, z) mid x-2 z=0, W=(x, y, z) mid y+z=0
calcular as dimensões dos sub-espaços V e Z=V cap W, e determinar uma base para eles.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
V = (x,y,z)inR^3 mid x - 2z = 0, W = (x,y,z)inR^3 mid y + z = 0,
e pede a dimensão de V e de Z = Vcap W, além de uma base para cada um. Vamos usar o fato de que cada equação linear reduz em 1 o grau de liberdade em R^3 e parametrizar as variáveis livres para achar as bases.

Passo 2

Para achar dim V e uma base de V, note que V é definido pela única equação
x - 2z = 0 Longrightarrow x = 2z
As variáveis livres são y e z. Escrevendo um vetor genérico de V em função de y e z:
(x,y,z) = (2z,,y,,z) = y,(0,1,0) ;+; z,(2,0,1)
Logo, V é um plano de dimensão 2 e uma base conveniente é
(0,1,0),;(2,0,1)

Passo 3

Agora Z = Vcap W consiste dos vetores que satisfazem simultaneamente
x - 2z = 0, y + z = 0
Da segunda equação vem y = -,z, e da primeira continua x = 2z. Então todo vetor de Z é da forma
(x,y,z) = (2z,,-z,,z) = z,(2,-1,1)
Há apenas um parâmetro livre ( z), então dim Z = 1 e uma base para Z é
(2,-1,1)

Resposta

dim V = 2, base de V = (0,1,0),,(2,0,1).
dim Z = 1, base de Z = (2,-1,1).

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