[2] [2.5 pontos] Nos itens abaixo prove, caso seja verdadeiro, ou forneça um contra-exemplo no caso contrário.
(a) Se D B=D C, em que D, B, e C, são matrizes tais que a multiplicação esteja bem definida D neq 0 (0 a matriz nula), então podemos sempre afirmar que B=C ?
(b) Se tivermos que D B=D C, em que D, B, e C, são matrizes tais que a multiplicação esteja bem definida e se assumirmos que det D neq 0, então podemos sempre afirmar que B=C ?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a possibilidade de cancelar uma multiplicação à esquerda em matrizes: dadas matrizes D,B,C tais que DB e DC estejam definidos e sabendo que DB=DC, será que sempre vale B=C? No item (a) apenas assumimos Dneq0 (não é a matriz nula) e no item (b) reforçamos que det Dneq0 (ou seja, D é inversível).

Passo 2

(a) A afirmação é falsa: mesmo com Dneq0 podemos ter DB=DC com Bneq C. Por exemplo, seja
D=1&00&0, B=0&00&1, C=0&01&0
Então
DB=1&00&0 0&00&1 =0&00&0 e DC=1&00&0 0&01&0 =0&00&0,
logo DB=DC mas claramente Bneq C. Isso mostra que sem inversibilidade de D não podemos cancelar.

Passo 3

(b) Se det Dneq0, então D é inversível. Partindo de
DB=DC
multiplicamos à esquerda por D^-1 e obtemos
D^-1(DB)=(D^-1D)C Longrightarrow ( D^-1D)B=IC Longrightarrow B=C
Assim, quando det Dneq0 podemos sempre cancelar D à esquerda.

Resposta

(a) A afirmação é falsa (contra-exemplo acima).
(b) A afirmação é verdadeira (pelo cancelamento usando D^-1).

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