[2] [2.5 pontos] Nos itens abaixo prove, caso seja verdadeiro, ou forneça um contra-exemplo no caso contrário.
(a) Se
, em que
, e
, são matrizes tais que a multiplicação esteja bem definida
(0 a matriz nula), então podemos sempre afirmar que
?
(b) Se tivermos que
, em que
, e
, são matrizes tais que a multiplicação esteja bem definida e se assumirmos que
, então podemos sempre afirmar que
?
(a) Se
(b) Se tivermos que
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a possibilidade de cancelar uma multiplicação à esquerda em matrizes: dadas matrizes
tais que
e
estejam definidos e sabendo que
, será que sempre vale
? No item (a) apenas assumimos
(não é a matriz nula) e no item (b) reforçamos que
(ou seja,
é inversível).
Passo 2
(a) A afirmação é falsa: mesmo com
podemos ter
com
. Por exemplo, seja
Então
logo
mas claramente
. Isso mostra que sem inversibilidade de
não podemos cancelar.
Passo 3
(b) Se
, então
é inversível. Partindo de
multiplicamos à esquerda por
e obtemos
Assim, quando
podemos sempre cancelar
à esquerda.
Resposta
(a) A afirmação é falsa (contra-exemplo acima).
(b) A afirmação é verdadeira (pelo cancelamento usando ).
(b) A afirmação é verdadeira (pelo cancelamento usando