Verificar quais são seus subespaços em relação às operaçōes de adição e multiplicaçăo por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que as duas condiçōes estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
a) S=(x, y, z) / x=4 y e z=0

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se
S = (x,y,z)inR^3 mid x = 4y,;z=0
é subespaço de R^3 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos checar que o vetor zero pertence a S (não vacuidade) e que S é fechado em adição e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) satisfaz as equações de S, pois
0 = 4cdot 0
e o terceiro componente já é zero. Logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Fechamento em adição. Suponha
(x1,y1,0)in S com x1=4y1
e
(x2,y2,0)in S com x2=4y2.
A soma é
(x1+x2,,y1+y2,,0). Como
x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4l(y1+y2r)
e o terceiro componente permanece zero, concluímos que
(x1+x2,y1+y2,0)in S.

Passo 4

Fechamento em multiplicação por escalar. Tome alphainR e (x,y,0)in S com x=4y. Então
alpha,(x,y,0) = (alpha x,;alpha y,;0)
Como
alpha x = alpha,(4y) = 4,(alpha y),
o vetor (alpha x,alpha y,0) também satisfaz x=4y e z=0. Assim alpha,(x,y,0)in S.

Resposta

S é subespaço vetorial de R^3, pois contém o vetor zero e é fechado em adição e em multiplicação por escalar.

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