Verificar quais são seus subespaços em relação às operaçōes de adição e multiplicaçăo por escalar usuais. Para os que são subespaços, mostrar que as duas condiçōes estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
a)
e
a)
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se
é subespaço de com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos checar que o vetor zero pertence a
(não vacuidade) e que
é fechado em adição e em multiplicação por escalar.
é subespaço de
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
satisfaz as equações de
, pois
e o terceiro componente já é zero. Logo
.
Passo 3
Fechamento em adição. Suponha
com
e
com
.
A soma é
. Como
e
A soma é
e o terceiro componente permanece zero, concluímos que
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação por escalar. Tome
e
com
. Então
Como
o vetor
também satisfaz
e
. Assim
.