[2,5 pontos] Em um lance-livre em um jogo de basquete o jogador fica a 4,2 \mathrm{~m} da cesta, que está a 3,05 m de altura do chão. Sabendo que este jogador soltou a bola a 2 m de altura com um ângulo de 40 graus em relação à quadra e que a bola caiu dentro da cesta, qual a velocidade da bola no momento em que ela saiu da mão do jogador? Utilize g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Despreze qualquer força de arrasto na bola.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade da bola no instante em que ela saiu da mão do jogador, dado que a bola foi lançada de uma altura de 2\\ \mathrm{m} com ângulo de 40^\circ em relação à quadra, e que ela entrou na cesta que está a 3,05\\ \mathrm{m} de altura, localizada a 4,2\\ \mathrm{m} de distância horizontal do ponto de lançamento. Dados fornecidos (todos extraídos do enunciado):
\begin{aligned} &\text{distância horizontal até a cesta: } x=4,2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{altura da cesta: } y_{\text{cesta}}=3,05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{altura de soltura: } y_0=2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{ângulo de lançamento: } \theta=40^\circ,\\\ &\text{aceleração gravitacional: } g=10\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}âéâççã
A pergunta é: qual é a velocidade inicial v_0 (módulo da velocidade ao sair da mão) que faz a trajetória passar por (x,y)=(4,2,\;3,05)?

Passo 2

Conceitos e equações fundamentais (aulas rápidas, sem economia de explicação):
  • No lançamento oblíquo (projétil), decompomos a velocidade inicial v_0 em duas componentes:
v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui v_{0x} é a componente horizontal (constante, pois desprezamos arrasto) e v_{0y} é a componente vertical (sofre aceleração -g).
  • Movimento horizontal: a posição horizontal x(t) em função do tempo t é
x(t)=v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t.
  • Movimento vertical: a posição vertical y(t) é
y(t)=y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2 = y_0 + v_0\sin\theta\; t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Explicação das variáveis: y_0 é a altura inicial, y(t) é a altura no tempo t, g é a intensidade da gravidade (positiva aqui, com sinal negativo no termo de aceleração).

Passo 3

Usamos a equação horizontal para eliminar o tempo t, porque conhecemos a distância horizontal x até a cesta:
t = \frac{x}{v_0\cos\theta}.
Substituímos esse t na equação vertical para impor que, no mesmo instante em que a bola percorre x, sua altura seja y_{\text{cesta}}:
y_{\text{cesta}} = y_0 + v_0\sin\theta\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right) - \tfrac{1}{2} g \left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2.
Simplificando o primeiro termo que envolve v_0:
y_{\text{cesta}} = y_0 + x\tan\theta - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}.
Agora isolamos v_0^2. Primeiro passamos o termo com v_0^2 para um lado:
\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta} = x\tan\theta - (y_{\text{cesta}}-y_0).
Assumimos que o lado direito é positivo (se não fosse, não existe velocidade real positiva que satisfaça), e obtemos:
v_0^2 = \frac{g x^2}{2\cos^2\theta \,\big(x\tan\theta - (y_{\text{cesta}}-y_0)\big)}.
Esta fórmula é muito útil: ela dá v_0 diretamente quando sabemos x,\;y_{\text{cesta}},\;y_0,\;\theta,\;g.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos os termos trigonométricos (vou aproximar com 5 casas decimais para manter boa precisão):
\cos 40^\circ \approx 0,76604,\qquad \cos^2 40^\circ \approx 0,58682,
\tan 40^\circ \approx 0,83910.
Agora calculemos x\tan\theta e a diferença de alturas:
x\tan\theta = 4,2\cdot 0,83910 \approx 3,52362,
y_{\text{cesta}}-y_0 = 3,05 - 2 = 1,05,
x\tan\theta - (y_{\text{cesta}}-y_0) \approx 3,52362 - 1,05 = 2,47362.
Calcule o numerador g x^2:
g x^2 = 10 \cdot (4,2)^2 = 10 \cdot 17,64 = 176,4.
Calcule o denominador completo:
2\cos^2\theta\,(x\tan\theta - (y_{\text{cesta}}-y_0)) \approx 2\cdot 0,58682 \cdot 2,47362 \approx 2,90291.
Portanto
v_0^2 \approx \frac{176,4}{2,90291} \approx 60,79.
Extraindo a raiz (velocidade positiva):
v_0 \approx \sqrt{60,79} \approx 7,80\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação rápida: v_0\approx 7,80\\ \mathrm{m/s} é a velocidade inicial necessária, com o ângulo dado, para que a bola lançada de 2\\ \mathrm{m} atinja a cesta a 4,2\\ \mathrm{m} de distância e 3,05\\ \mathrm{m} de altura, desprezando arrasto. Isso está dentro de uma magnitude razoável para um lançamento curto de basquete — nem muito lento, nem absurdo.

Resposta

v_0 \approx 7,80\\ \mathrm{m/s}

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