[2,5 pontos] Em um lance-livre em um jogo de basquete o jogador fica a
da cesta, que está a 3,05 m de altura do chão. Sabendo que este jogador soltou a bola a 2 m de altura com um ângulo de 40 graus em relação à quadra e que a bola caiu dentro da cesta, qual a velocidade da bola no momento em que ela saiu da mão do jogador? Utilize
. Despreze qualquer força de arrasto na bola.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade da bola no instante em que ela saiu da mão do jogador, dado que a bola foi lançada de uma altura de
com ângulo de
em relação à quadra, e que ela entrou na cesta que está a
de altura, localizada a
de distância horizontal do ponto de lançamento. Dados fornecidos (todos extraídos do enunciado):
A pergunta é: qual é a velocidade inicial
(módulo da velocidade ao sair da mão) que faz a trajetória passar por
?
Passo 2
Conceitos e equações fundamentais (aulas rápidas, sem economia de explicação):
- No lançamento oblíquo (projétil), decompomos a velocidade inicial
em duas componentes:
Aqui
é a componente horizontal (constante, pois desprezamos arrasto) e
é a componente vertical (sofre aceleração
).
- Movimento horizontal: a posição horizontal
em função do tempo é
- Movimento vertical: a posição vertical
é
Explicação das variáveis:
é a altura inicial,
é a altura no tempo
,
é a intensidade da gravidade (positiva aqui, com sinal negativo no termo de aceleração).
Passo 3
Usamos a equação horizontal para eliminar o tempo
, porque conhecemos a distância horizontal
até a cesta:
Substituímos esse
na equação vertical para impor que, no mesmo instante em que a bola percorre
, sua altura seja
:
Simplificando o primeiro termo que envolve
:
Agora isolamos
. Primeiro passamos o termo com
para um lado:
Assumimos que o lado direito é positivo (se não fosse, não existe velocidade real positiva que satisfaça), e obtemos:
Esta fórmula é muito útil: ela dá
diretamente quando sabemos
.
Passo 4
Substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos os termos trigonométricos (vou aproximar com 5 casas decimais para manter boa precisão):
Agora calculemos
e a diferença de alturas:
Calcule o numerador
:
Calcule o denominador completo:
Portanto
Extraindo a raiz (velocidade positiva):
Passo 5
Interpretação rápida:
é a velocidade inicial necessária, com o ângulo dado, para que a bola lançada de
atinja a cesta a
de distância e
de altura, desprezando arrasto. Isso está dentro de uma magnitude razoável para um lançamento curto de basquete — nem muito lento, nem absurdo.