pontos
A posição de uma partícula é dada por:
onde
;
; frequência
.
a) [0.8] Encontre as expressões de
e
b) [1.7] Faça um gráfico da posição da partícula entre os instantes 0 s e 1 s no plano
-
.
a) [0.8] Encontre as expressões de
b) [1.7] Faça um gráfico da posição da partícula entre os instantes 0 s e 1 s no plano
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (resumo claro do que foi dado e do que pedem):
.
Foram dados: ,
,
.
Perguntas:
Foram dados:
Perguntas:
- Encontre as expressões de
e . - Faça um gráfico da posição da partícula entre os instantes
e no plano - .
Passo 2
Como calcular velocidade e aceleração de uma função de posição vetorial (aula rápida e prática).
- A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
. Isso significa derivar componente a componente. - A aceleração é a derivada da velocidade:
. - Regras que vamos usar:
-
. - Regra da cadeia para trigonometria:
, porque diferenciando dá . -
.
-
- Aqui
. Vou aplicar isso componente a componente em .
Passo 3
Derivar a componente
(passo a passo):
-
. - Aplicando
obtemos
Isso já é a componente
da velocidade.
Passo 4
Derivar a componente
(passo a passo):
-
. - Aplicando a regra da cadeia:
. - Portanto
Então, a velocidade vetorial geral (antes de substituir valores) é
Passo 5
Agora a aceleração: derivamos
componente a componente.
- Componente
: . (constante) - Componente
: derivar . Use . Então
Logo a aceleração geral é
Passo 6
Substituir os valores numéricos
,
,
para obter as formas finais concretas.
- Para a velocidade:
ou seja
- Para a aceleração:
ou seja
Passo 7
Preparar o gráfico da trajetória entre
e
. Estratégia para desenhar manualmente:
- As componentes são
e (já que ). - Observação útil: como
com , percorre mas de forma não linear (começa devagar e cresce mais rápido no fim). Podemos eliminar : para , , logo
- Para desenhar, é prático obter pontos no plano
- amostrando . Vou fornecer uma tabela de pontos chave (fáceis de calcular sem calculadora) que definem bem a forma da curva.
Passo 8
Tabela de pontos (usei
em frações de
para senos de ângulos notáveis):
Esses pontos marcam os máximos, zeros e mínimos da componente
e mostram como
cresce mais devagar no começo (por exemplo, em
já temos
mas
ainda é só
).
Passo 9
Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo-a-passo):
- Desenhe e marque eixos:
horizontal de a ; vertical de a . - Plote os pontos da tabela. Use escala: no eixo
cada 0{,}1 de pode ser um pequeno passo; observe que os primeiros pontos ficam bem próximos (0, 0,0156, 0,0625). - Una os pontos com uma curva suave no sentido do movimento temporal: comece em
, suba rapidamente até , volte a cruzar o eixo em , desça até e volte a . - Indique uma seta mostrando a direção do tempo do início (
) para o fim ( ).
Observação interpretativa: a curva é uma “onda” em(uma senoide), mas comprimida no eixo no começo e esticada no final por causa do . Assim o pico positivo ( ) ocorre em pequeno e o pico negativo ( ) ocorre em maior.
Passo 10
Resumo didático final rápido (para garantir que você saiba reproduzir na prova):
- Derivação componente a componente: para polinômios usar regra do poder; para seno e cosseno usar regra da cadeia com
. - Para gráfico paramétrico, amostre vários
, calcule , marque e una com suavidade; se possível elimine para ter e entender o formato qualitativo da curva.
Resposta
Gráfico: curva paramétrica