[2,5 pontos ] A posição de uma partícula é dada por: \quad \vec{r}(t)=A t^{2} \hat{i}+B \operatorname{sen}(2 \pi f t) \hat{j} onde \mathrm{A}=1 \mathrm{~m}; \mathrm{B}=1 \mathrm{~m}; frequência \mathrm{f}=1 \mathrm{~Hz}.
a) [0.8] Encontre as expressões de \vec{v}(t) e \vec{a}(t)
b) [1.7] Faça um gráfico da posição da partícula entre os instantes 0 s e 1 s no plano x - y.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (resumo claro do que foi dado e do que pedem):
\vec{r}(t)=A t^{2}\,\hat{i}+B\operatorname{sen}(2\pi f t)\,\hat{j}.
Foram dados: A=1\\ \text{m}, B=1\\ \text{m}, f=1\\ \text{Hz}.
Perguntas:
  1. Encontre as expressões de \vec{v}(t) e \vec{a}(t).
  2. Faça um gráfico da posição da partícula entre os instantes 0\\ \text{s} e 1\\ \text{s} no plano x- y.

Passo 2

Como calcular velocidade e aceleração de uma função de posição vetorial (aula rápida e prática).
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec r}{dt}. Isso significa derivar componente a componente.
  • A aceleração é a derivada da velocidade: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{d^{2}\vec r}{dt^{2}}.
  • Regras que vamos usar:
    • \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.
    • Regra da cadeia para trigonometria: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(\omega t)=\omega\cos(\omega t), porque diferenciando \operatorname{sen}(u) \cos(u)\cdot u'.
    • \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\operatorname{sen}(\omega t).
  • Aqui \omega=2\pi f. Vou aplicar isso componente a componente em \vec r(t).

Passo 3

Derivar a componente x (passo a passo):
  • x(t)=A t^{2}.
  • Aplicando \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t obtemos
\frac{dx}{dt}=2A t.
Isso já é a componente x da velocidade.

Passo 4

Derivar a componente y (passo a passo):
  • y(t)=B\operatorname{sen}(2\pi f t).
  • Aplicando a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(2\pi f t)=2\pi f\cos(2\pi f t).
  • Portanto
\frac{dy}{dt}=B\cdot(2\pi f)\cos(2\pi f t).
Então, a velocidade vetorial geral (antes de substituir valores) é
\vec{v}(t)=2A t\,\hat{i}+B(2\pi f)\cos(2\pi f t)\,\hat{j}.

Passo 5

Agora a aceleração: derivamos \vec{v}(t) componente a componente.
  • Componente x: \dfrac{d}{dt}(2A t)=2A. (constante)
  • Componente y: derivar B(2\pi f)\cos(2\pi f t). Use \dfrac{d}{dt}\cos(2\pi f t)=-2\pi f\operatorname{sen}(2\pi f t). Então
\frac{d}{dt}\big(B(2\pi f)\cos(2\pi f t)\big)=B(2\pi f)\big(-2\pi f\operatorname{sen}(2\pi f t)\big)=-B(2\pi f)^{2}\operatorname{sen}(2\pi f t).
Logo a aceleração geral é
\vec{a}(t)=2A\,\hat{i}-B(2\pi f)^{2}\operatorname{sen}(2\pi f t)\,\hat{j}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos A=1, B=1, f=1 para obter as formas finais concretas.
  • Para a velocidade:
\vec{v}(t)=2\cdot 1\cdot t\,\hat{i}+1\cdot(2\pi\cdot 1)\cos(2\pi\cdot 1\cdot t)\,\hat{j}
ou seja
\vec{v}(t)=2t\,\hat{i}+2\pi\cos(2\pi t)\,\hat{j}\quad(\text{m/s}).
  • Para a aceleração:
\vec{a}(t)=2\cdot 1\,\hat{i}-1\cdot(2\pi\cdot 1)^{2}\operatorname{sen}(2\pi\cdot 1\cdot t)\,\hat{j}
ou seja
\vec{a}(t)=2\,\hat{i}- (2\pi)^{2}\operatorname{sen}(2\pi t)\,\hat{j}\quad(\text{m/s}^{2}).

Passo 7

Preparar o gráfico da trajetória entre t=0 e t=1. Estratégia para desenhar manualmente:
  • As componentes são x(t)=t^{2} e y(t)=\operatorname{sen}(2\pi t) (já que A=B=f=1).
  • Observação útil: como x=t^{2} com t\in[0,1], x percorre [0,1] mas de forma não linear (começa devagar e cresce mais rápido no fim). Podemos eliminar t: para t\ge 0, t=\sqrt{x}, logo
y(x)=\operatorname{sen}\big(2\pi\sqrt{x}\big),\quad 0\le x\le 1.
  • Para desenhar, é prático obter pontos no plano x- y amostrando t. Vou fornecer uma tabela de pontos chave (fáceis de calcular sem calculadora) que definem bem a forma da curva.

Passo 8

Tabela de pontos (usei t em frações de 1/8 para senos de ângulos notáveis):
\begin{array}{c|c|c} t & x=t^{2} & y=\operatorname{sen}(2\pi t)\\hline 0 & 0 & 0\\\\ 0{,}125 & 0{,}015625 & \operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071\\\\ 0{,}25 & 0{,}0625 & 1\\\\ 0{,}375 & 0{,}140625 & \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071\\\\ 0{,}5 & 0{,}25 & 0\\\\ 0{,}625 & 0{,}390625 & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071\\\\ 0{,}75 & 0{,}5625 & -1\\\\ 0{,}875 & 0{,}765625 & -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071\\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}
Esses pontos marcam os máximos, zeros e mínimos da componente y e mostram como x cresce mais devagar no começo (por exemplo, em t=0{,}25 já temos y=1 mas x ainda é só 0{,}0625).

Passo 9

Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo-a-passo):
  1. Desenhe e marque eixos: x horizontal de 0 a 1; y vertical de -1{,}2 a 1{,}2.
  2. Plote os pontos da tabela. Use escala: no eixo x cada 0{,}1 de x pode ser um pequeno passo; observe que os primeiros pontos ficam bem próximos (0, 0,0156, 0,0625).
  3. Una os pontos com uma curva suave no sentido do movimento temporal: comece em (0,0), suba rapidamente até (0{,}0625,1), volte a cruzar o eixo y=0 em (0{,}25,0), desça até (0{,}5625,-1) e volte a (1,0).
  4. Indique uma seta mostrando a direção do tempo do início ( t=0) para o fim ( t=1).
    Observação interpretativa: a curva é uma “onda” em y (uma senoide), mas comprimida no eixo x no começo e esticada no final por causa do x=t^{2}. Assim o pico positivo ( y=1) ocorre em x pequeno e o pico negativo ( y=-1) ocorre em x maior.

Passo 10

Resumo didático final rápido (para garantir que você saiba reproduzir na prova):
  • Derivação componente a componente: para polinômios usar regra do poder; para seno e cosseno usar regra da cadeia com \omega=2\pi f.
  • Para gráfico paramétrico, amostre vários t, calcule (x(t),y(t)), marque e una com suavidade; se possível elimine t para ter y(x) e entender o formato qualitativo da curva.

Resposta

\vec{v}(t)=2t\,\hat{i}+2\pi\cos(2\pi t)\,\hat{j} \quad e \quad \vec{a}(t)=2\,\hat{i}-(2\pi)^{2}\operatorname{sen}(2\pi t)\,\hat{j}.
Gráfico: curva paramétrica \vec r(t)=(t^{2},\;\operatorname{sen}(2\pi t)) para 0\le t\le1; pontos-chave: (0,0), (0{,}015625,\;0{,}7071), (0{,}0625,\;1), (0{,}25,\;0), (0{,}5625,\;-1), (1,0); direção do tempo de t=0 para t=1.

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