1. [ \mathbf{2 , 5} pontos] Hogan e Flash (1984,1985), com base em observações de movimentos voluntários em primatas, sugeriram que os movimentos são realizados (organizados) com a trajetória mais suave possivel. Neste princípio organizador, a trajetória do ponto final é tal que a média quadrática do solavanco (do inglês jerk, a terceira derivada da posição) ao longo do tempo deste movimento é minimo. Pode ser demonstrado que a equação que minimiza o solavanco tem a forma de uma função polinomial de quinto grau \left(\mathbf{a}_{0}+\mathbf{a}_{1} \mathbf{t}+\mathbf{a}_{2} \mathbf{t}^{2}+\mathbf{a}_{3} \mathbf{t}^{3}+\mathbf{a}_{4} \mathbf{t}^{4}+\mathbf{a}_{5} \mathbf{t}^{5}\right), onde os valores adequados para os coeficientes dependem do deslocamento (D) e duração (T) do movimento.
Considere um movimento no plano XY com duração total de 0,5 \mathrm{~s} e deslocamentos de 0,5 \mathrm{~m} na direção \mathrm{Xe} 0,4 \mathrm{~m} na direção Y .
Se os coeficientes de tal polinômio para cada direção tem os seguintes valores: \left\{a_{0}: 0, a_{1}: 0, a_{2}: 0, a_{3}: 10 D / T^{3}, a_{4}:-15 D / T^{4}, a_{5}: 6 D / T^{5}\right\}:
a) Quais são as equações para a posição, velocidade, aceleração e solavanco em cada uma das direções?

Passo 1

O enunciado dá um movimento com duração total T=0,5 s e deslocamentos nas direções X e Y iguais a D_X=0,5 m e D_Y=0,4 m, respectivamente. A trajetória em cada direção é descrita por um polinômio de quinto grau
a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+a_{5}t^{5},
com coeficientes especificados por
a_{0}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{2}=0,
a_{3}=10\,\frac{D}{T^{3}},\quad a_{4}=-15\,\frac{D}{T^{4}},\quad a_{5}=6\,\frac{D}{T^{5}}.
O que a questão pede: para cada direção X e Y, obter as equações de
  • posição (função do tempo),
  • velocidade (primeira derivada da posição),
  • aceleração (segunda derivada),
  • solavanco / jerk (terceira derivada).
Vamos trabalhar para 0\le t\le T. Não começo a resolver nada além de listar dados e o pedido neste passo (ok, respira — a gente resolve no próximo passo).

Passo 2

Primeiro escrevo a forma explícita da posição em função de t usando os coeficientes dados. Como a_{0}=a_{1}=a_{2}=0, temos
\text{posição:}\quad s(t)=a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+a_{5}t^{5}.çã
Substituindo os valores de a_{3},a_{4},a_{5} em termos de D e T obtemos a forma adimensional (muito útil em provas):
\text{posição:}\quad s(t)=D\!\left(10\left(\frac{t}{T}\right)^{3}-15\left(\frac{t}{T}\right)^{4}+6\left(\frac{t}{T}\right)^{5}\right).çã
Explico rapidamente a ideia de derivar polinômios (regra de potência): se f(t)=t^{n} então f'(t)=n\,t^{n-1}. Derivamos termo a termo. Assim:
  • velocidade: v(t)=\dfrac{ds}{dt},
  • aceleração: a(t)=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}},
  • solavanco (jerk): j(t)=\dfrac{d^{3}s}{dt^{3}}.
Agora faço as derivadas da forma adimensional (em termos de D e T), porque isso mostra o padrão e evita cálculos numéricos repetidos.

Passo 3

Derivo a forma adimensional termo a termo.
Posição:
s(t)=D\!\left(10\left(\frac{t}{T}\right)^{3}-15\left(\frac{t}{T}\right)^{4}+6\left(\frac{t}{T}\right)^{5}\right).
Velocidade: aplicando a regra da potência e a regra da cadeia (derivada de (t/T)^n é \dfrac{n}{T}\left(\dfrac{t}{T}\right)^{n-1}),
v(t)=\frac{D}{T}\!\left(30\left(\frac{t}{T}\right)^{2}-60\left(\frac{t}{T}\right)^{3}+30\left(\frac{t}{T}\right)^{4}\right).
Aceleração: derivando novamente (cada potência perde um expoente e ganha um fator),
a(t)=\frac{D}{T^{2}}\!\left(60\left(\frac{t}{T}\right)-180\left(\frac{t}{T}\right)^{2}+120\left(\frac{t}{T}\right)^{3}\right).
Solavanco (jerk): derivando pela terceira vez,
j(t)=\frac{D}{T^{3}}\!\left(60-360\left(\frac{t}{T}\right)+360\left(\frac{t}{T}\right)^{2}\right).
Essas são as formas gerais em função de D e T. Agora vamos aplicar os números do enunciado para ter as expressões numéricas prontas para a prova.

Passo 4

Substituo T=0,5 s e calculo os coeficientes a_{3},a_{4},a_{5} para cada direção. Mostro a aritmética passo a passo (não confie em mágica na prova).
Para a direção X com D_X=0,5 m:
a_{3}=10\frac{D_X}{T^{3}}=10\frac{0,5}{(0,5)^{3}}.
Calculo (0,5)^{3}=0,125. Então
a_{3}=10\cdot\frac{0,5}{0,125}=10\cdot 4=40.
Agora a_{4}:
a_{4}=-15\frac{0,5}{(0,5)^{4}},\quad (0,5)^{4}=0,0625,
a_{4}=-15\cdot\frac{0,5}{0,0625}=-15\cdot 8=-120.
Agora a_{5}:
a_{5}=6\frac{0,5}{(0,5)^{5}},\quad (0,5)^{5}=0,03125,
a_{5}=6\cdot\frac{0,5}{0,03125}=6\cdot 16=96.
Portanto, para X:
x(t)=40\,t^{3}-120\,t^{4}+96\,t^{5}\qquad(0\le t\le 0,5).

Passo 5

Derivo x(t) para obter velocidade, aceleração e solavanco em X, mostrando cada passo.
Velocidade v_{x}(t)=\dfrac{dx}{dt}:
derivo termo a termo:
v_{x}(t)=3\cdot 40\,t^{2}-4\cdot 120\,t^{3}+5\cdot 96\,t^{4}.
Faço as multiplicações:
v_{x}(t)=120\,t^{2}-480\,t^{3}+480\,t^{4}.
Aceleração a_{x}(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}:
derivando v_{x}(t),
a_{x}(t)=2\cdot 120\,t-3\cdot 480\,t^{2}+4\cdot 480\,t^{3}.
Multiplicando:
a_{x}(t)=240\,t-1440\,t^{2}+1920\,t^{3}.
Solavanco j_{x}(t)=\dfrac{d^{3}x}{dt^{3}}:
derivando a_{x}(t),
j_{x}(t)=240-2\cdot 1440\,t+3\cdot 1920\,t^{2}.
Multiplicando:
j_{x}(t)=240-2880\,t+5760\,t^{2}.

Passo 6

Agora faço o mesmo para a direção Y com D_{Y}=0,4 m. Primeiro os coeficientes a_{3},a_{4},a_{5}:
a_{3}=10\frac{D_{Y}}{T^{3}}=10\frac{0,4}{0,125}=10\cdot 3,2=32.
a_{4}=-15\frac{0,4}{0,0625}=-15\cdot 6,4=-96.
a_{5}=6\frac{0,4}{0,03125}=6\cdot 12,8=76,8.
Portanto
y(t)=32\,t^{3}-96\,t^{4}+76{,}8\,t^{5}\qquad(0\le t\le 0,5).

Passo 7

Derivo y(t) passo a passo.
Velocidade v_{y}(t)=\dfrac{dy}{dt}:
v_{y}(t)=3\cdot 32\,t^{2}-4\cdot 96\,t^{3}+5\cdot 76{,}8\,t^{4},
v_{y}(t)=96\,t^{2}-384\,t^{3}+384\,t^{4}.
(Aqui 5\cdot 76{,}8=384.)
Aceleração a_{y}(t)=\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}:
a_{y}(t)=2\cdot 96\,t-3\cdot 384\,t^{2}+4\cdot 384\,t^{3},
a_{y}(t)=192\,t-1152\,t^{2}+1536\,t^{3}.
Solavanco j_{y}(t)=\dfrac{d^{3}y}{dt^{3}}:
j_{y}(t)=192-2\cdot 1152\,t+3\cdot 1536\,t^{2},
j_{y}(t)=192-2304\,t+4608\,t^{2}.

Passo 8

Resumo rápido (não tem cálculo novo aqui): já temos as expressões gerais em termos de D e T e as expressões numéricas para X e Y com T=0,5 s, D_X=0,5 m e D_Y=0,4 m. Se precisar faço um gráfico mental: os polinômios garantem que em t=0 e t=T posição e suas derivadas de primeira e segunda ordem têm valores consistentes com começo/parada suave (isso é a razão física do modelo do “minimum jerk”).

Resposta

X — posição: x(t)=40\,t^{3}-120\,t^{4}+96\,t^{5}
X — velocidade: v_{x}(t)=120\,t^{2}-480\,t^{3}+480\,t^{4}
X — aceleração: a_{x}(t)=240\,t-1440\,t^{2}+1920\,t^{3}
X — solavanco: j_{x}(t)=240-2880\,t+5760\,t^{2}
Y — posição: y(t)=32\,t^{3}-96\,t^{4}+76{,}8\,t^{5}
Y — velocidade: v_{y}(t)=96\,t^{2}-384\,t^{3}+384\,t^{4}
Y — aceleração: a_{y}(t)=192\,t-1152\,t^{2}+1536\,t^{3}
Y — solavanco: j_{y}(t)=192-2304\,t+4608\,t^{2}

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