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pontos] Hogan e Flash
, com base em observações de movimentos voluntários em primatas, sugeriram que os movimentos são realizados (organizados) com a trajetória mais suave possivel. Neste princípio organizador, a trajetória do ponto final é tal que a média quadrática do solavanco (do inglês jerk, a terceira derivada da posição) ao longo do tempo deste movimento é minimo. Pode ser demonstrado que a equação que minimiza o solavanco tem a forma de uma função polinomial de quinto grau
, onde os valores adequados para os coeficientes dependem do deslocamento (D) e duração (T) do movimento.
Considere um movimento no plano XY com duração total de
e deslocamentos de
na direção
na direção Y .
Se os coeficientes de tal polinômio para cada direção tem os seguintes valores:
a) Quais são as equações para a posição, velocidade, aceleração e solavanco em cada uma das direções?
a) Quais são as equações para a posição, velocidade, aceleração e solavanco em cada uma das direções?
Passo 1
O enunciado dá um movimento com duração total
s e deslocamentos nas direções
e
iguais a
m e
m, respectivamente. A trajetória em cada direção é descrita por um polinômio de quinto grau
com coeficientes especificados por
O que a questão pede: para cada direção
e
, obter as equações de
- posição (função do tempo),
- velocidade (primeira derivada da posição),
- aceleração (segunda derivada),
- solavanco / jerk (terceira derivada).
Vamos trabalhar para
. Não começo a resolver nada além de listar dados e o pedido neste passo (ok, respira — a gente resolve no próximo passo).
Passo 2
Primeiro escrevo a forma explícita da posição em função de
usando os coeficientes dados. Como
, temos
Substituindo os valores de
em termos de
e
obtemos a forma adimensional (muito útil em provas):
Explico rapidamente a ideia de derivar polinômios (regra de potência): se
então
. Derivamos termo a termo. Assim:
- velocidade:
, - aceleração:
, - solavanco (jerk):
.
Agora faço as derivadas da forma adimensional (em termos de
e
), porque isso mostra o padrão e evita cálculos numéricos repetidos.
Passo 3
Derivo a forma adimensional termo a termo.
Posição:
Velocidade: aplicando a regra da potência e a regra da cadeia (derivada de
é
),
Aceleração: derivando novamente (cada potência perde um expoente e ganha um fator),
Solavanco (jerk): derivando pela terceira vez,
Essas são as formas gerais em função de
e
. Agora vamos aplicar os números do enunciado para ter as expressões numéricas prontas para a prova.
Passo 4
Substituo
s e calculo os coeficientes
para cada direção. Mostro a aritmética passo a passo (não confie em mágica na prova).
Para a direção
com
m:
Calculo
. Então
Agora
:
Agora
:
Portanto, para
:
Passo 5
Derivo
para obter velocidade, aceleração e solavanco em
, mostrando cada passo.
Velocidade
:
derivo termo a termo:
derivo termo a termo:
Faço as multiplicações:
Aceleração
:
derivando ,
derivando
Multiplicando:
Solavanco
:
derivando ,
derivando
Multiplicando:
Passo 6
Agora faço o mesmo para a direção
com
m. Primeiro os coeficientes
:
Portanto
Passo 7
Derivo
passo a passo.
Velocidade
:
(Aqui
.)
Aceleração
:
Solavanco
:
Passo 8
Resumo rápido (não tem cálculo novo aqui): já temos as expressões gerais em termos de
e
e as expressões numéricas para
e
com
s,
m e
m. Se precisar faço um gráfico mental: os polinômios garantem que em
e
posição e suas derivadas de primeira e segunda ordem têm valores consistentes com começo/parada suave (isso é a razão física do modelo do “minimum jerk”).
Resposta
X — posição:
X — velocidade:
X — aceleração:
X — solavanco:
X — velocidade:
X — aceleração:
X — solavanco:
Y — posição:
Y — velocidade:
Y — aceleração:
Y — solavanco:
Y — velocidade:
Y — aceleração:
Y — solavanco: