1. [ \mathbf{2 , 5} pontos] Durante uma corrida de 100 m rasos, uma atleta sai do repouso com aceleração constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} nos primeiros 40 m , depois mantêm velocidade constante até os 70 m e depois tem aceleração constante de -0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até a chegada.
    a) Faça uma tabela com os valores de tempo e velocidade da atleta nas posições 0,40,70 \mathrm{e} 100 \mathrm{~m}.
    b) Faça 3 gráficos: posição, velocidade e aceleração versus tempo. Nestes gráficos, indique os valores numéricos correspondentes nas posições 0,40,70 e 100 m .

Passo 1

O enunciado descreve uma corrida de 100\\ \mathrm{m} com três trechos seqüenciais:
  • Trecho 1: dos 0 até 40\\ \mathrm{m}, a atleta parte do repouso com aceleração constante a_1=3\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Trecho 2: dos 40 até 70\\ \mathrm{m}, a atleta mantém velocidade constante (aquele valor obtido ao final do trecho 1).
  • Trecho 3: dos 70 até 100\\ \mathrm{m}, aceleração constante a_3=-0{,}5\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o exercício pede:
a) Fazer uma tabela com os valores de tempo e velocidade da atleta nas posições 0,\;40,\;70 e 100\\ \mathrm{m}.
b) Fazer os três gráficos: posição s versus tempo t, velocidade v versus t e aceleração a versus t. Nestes gráficos, indicar numericamente os valores correspondentes nas posições 0,\;40,\;70 e 100\\ \mathrm{m}.
Dados relevantes fornecidos:
\begin{aligned} &\text{distância total: }100\\ \mathrm{m},\\\ &\text{trecho 1: }s_1=40\\ \mathrm{m},\\ a_1=3\\ \mathrm{m/s^2},\\ v_0=0,\\\ &\text{trecho 2: }s_2=30\\ \mathrm{m},\\ a_2=0\\ (\text{velocidade constante}),\\\ &\text{trecho 3: }s_3=30\\ \mathrm{m},\\ a_3=-0{,}5\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}â

Passo 2

Vamos revisar as fórmulas cinemáticas (úteis porque os movimentos são com aceleração constante em cada trecho):
  • Equação da posição quando a aceleração é constante:
s(t)=s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde s(t) é a posição no tempo t, s_0 posição inicial, v_0 velocidade inicial e a aceleração (constante).
  • Equação da velocidade:
v(t)=v_0 + a t.
  • Para movimento com velocidade constante ( a=0), a posição varia linearmente:
s(t)=s_0 + v (t - t_0).
Vou aplicar essas fórmulas trecho a trecho para encontrar tempos e velocidades pedidas.

Passo 3

Aqui s_0=0,\\ v_0=0,\\ a=3. Usando
40 = 0 + 0\cdot t_1 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot t_1^2,
temos
40 = \tfrac{3}{2} t_1^2 \quad\Rightarrow\quad t_1^2 = \frac{80}{3}.
Portanto
t_1 = \sqrt{\frac{80}{3}} \approx 5{,}16397779\\ \mathrm{s}.
A velocidade ao final do trecho 1 é (usar v=v_0 + a t):
v_1 = 0 + 3 t_1 = 3\sqrt{\frac{80}{3}}.
Note uma forma mais simples: v_1^2 = v_0^2 + 2 a \Delta s = 0 + 2\cdot 3 \cdot 40 = 240, logo
v_1 = \sqrt{240} \approx 15{,}4919334\\ \mathrm{m/s}.
(As duas formas são equivalentes; usei a relação v^2=v_0^2+2a\Delta s para confirmar um valor exato.)
Resumo trecho 1:
t_1=\sqrt{\frac{80}{3}}\approx 5{,}163978\\ \mathrm{s},\qquad v_1=\sqrt{240}\approx 15{,}491933\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Distância do trecho 2: s_2=30\\ \mathrm{m}. Como a velocidade é constante v_1,
t_2 = \frac{s_2}{v_1} = \frac{30}{\sqrt{240}}.
Numericamente,
t_2 \approx \frac{30}{15{,}4919334}\approx 1{,}93550808\\ \mathrm{s}.
O instante em que a atleta chega a 70\\ \mathrm{m} é
t_{70}=t_1+t_2\approx 5{,}16397779 + 1{,}93550808 \approx 7{,}09948587\\ \mathrm{s}.
A velocidade em 70\\ \mathrm{m} continua sendo v_1\approx 15{,}491933\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Neste trecho a velocidade inicial é v_i=v_1=\sqrt{240} e precisamos do tempo t_3 gasto para percorrer s_3=30\\ \mathrm{m} sob aceleração a_3=-0{,}5. Use
30 = v_i t_3 + \tfrac{1}{2} a_3 t_3^2 = v_i t_3 - \tfrac{1}{4} t_3^2.
Reescrevendo:
\tfrac{1}{4} t_3^2 - v_i t_3 + 30 = 0.
Multiplicando por 4:
t_3^2 - 4 v_i t_3 + 120 = 0.
Aqui podemos usar que v_i^2=240 para simplificar o discriminante. O discriminante é
\Delta = (4 v_i)^2 - 4\cdot 1 \cdot 120 = 16 v_i^2 - 480 = 16\cdot 240 - 480 = 3360.
Logo \sqrt{\Delta}=4\sqrt{210} e as raízes são
t_3 = \frac{4 v_i \pm 4\sqrt{210}}{2} = 2 v_i \pm 2\sqrt{210}.
Tomamos a raiz menor (a que corresponde ao tempo curto do trecho):
t_3 = 2\bigl(v_i - \sqrt{210}\bigr) = 2\bigl(\sqrt{240} - \sqrt{210}\bigr).
Numericamente,
t_3 \approx 2{,}00111328\\ \mathrm{s}.
O instante de chegada (final da corrida) é
t_{100}=t_1+t_2+t_3 \approx 5{,}16397779 + 1{,}93550808 + 2{,}00111328 \approx 9{,}10059915\\ \mathrm{s}.
A velocidade final é
v_{100}=v_i + a_3 t_3 = \sqrt{240} - 0{,}5\cdot t_3.
Usando a expressão exata, nota-se que
v_{100} = \sqrt{210}\approx 14{,}49137675\\ \mathrm{m/s},
porque a álgebra do quadrático dá essa relação (de fato a solução faz v_{100}=\sqrt{210} exatamente).

Passo 6

Agora coloco os valores pedidos nas posições 0,\;40,\;70,\;100\\ \mathrm{m}. Vou mostrar valores com 3 casas decimais (unidades entre parênteses):
  • Posição 0\\ \mathrm{m}: t=0{,}000\\ \mathrm{s}, v=0{,}000\\ \mathrm{m/s}.
  • Posição 40\\ \mathrm{m}: t=t_1=\sqrt{\dfrac{80}{3}}\approx 5{,}164\\ \mathrm{s}, v=v_1=\sqrt{240}\approx 15{,}492\\ \mathrm{m/s}.
  • Posição 70\\ \mathrm{m}: t=t_1+t_2\approx 7{,}099\\ \mathrm{s}, v=15{,}492\\ \mathrm{m/s}.
  • Posição 100\\ \mathrm{m}: t=t_1+t_2+t_3\approx 9{,}101\\ \mathrm{s}, v=v_{100}=\sqrt{210}\approx 14{,}491\\ \mathrm{m/s}.
(As expressões exatas úteis: t_1=\sqrt{80/3},\\ t_2=30/\sqrt{240},\\ t_3=2(\sqrt{240}-\sqrt{210}).)

Passo 7

Vou dar as fórmulas por trechos que permitem desenhar cada gráfico precisamente, e indicar quais pontos marcar numericamente.
  1. Gráfico posição s(t)\) — função por trechos: - Para \(0\le t \le t_1\) (trecho 1, aceleração \(3\)): \[s(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 3\\ t^2 = 1{,}5\\ t^2.
Esse é um ramo quadrático crescente convexo (curvatura para cima). Marcar o ponto (t=0,\\ s=0) e (t=t_1,\\ s=40).
  • Para t_1\le t \le t_1+t_2 (trecho 2, velocidade constante v_1):
s(t)=40 + v_1 (t - t_1).
É uma reta inclinada (pendente v_1). Marcar (t=t_1,\\ s=40) e (t=t_1+t_2,\\ s=70).
  • Para t_1+t_2\le t \le t_{100} (trecho 3, a_3=-0{,}5):
s(t)=70 + v_1 (t - (t_1+t_2)) - \tfrac{1}{4}(t - (t_1+t_2))^2.
É um ramo quadrático com concavidade para baixo (decelerando). Marcar (t=t_1+t_2,\\ s=70) e (t=t_{100},\\ s=100).
Pontos numéricos a marcar no gráfico s(t):
\begin{aligned} &(0{,}000\\ \mathrm{s},\\\ 0\\ \mathrm{m}),\\\ &(5{,}164\\ \mathrm{s},\\\ 40\\ \mathrm{m}),\\\ &(7{,}099\\ \mathrm{s},\\\ 70\\ \mathrm{m}),\\\ &(9{,}101\\ \mathrm{s},\\\ 100\\ \mathrm{m}). \end{aligned}
  1. Gráfico velocidade v(t) — função por trechos:
  • Para 0\le t\le t_1:
v(t)=3t\quad(\text{reta passando por }(0,0)\text{ e }(t_1,v_1)).
  • Para t_1\le t\le t_1+t_2:
v(t)=v_1=\sqrt{240}\\ \text{(constante)}.
  • Para t_1+t_2\le t\le t_{100}:
v(t)=v_1 - 0{,}5\bigl(t-(t_1+t_2)\bigr).
É uma reta decrescente nesse trecho, terminando em v_{100}=\sqrt{210}.
Pontos numéricos a marcar no gráfico v(t):
\begin{aligned} &(0{,}000\\ \mathrm{s},\\\ 0{,}000\\ \mathrm{m/s}),\\\ &(5{,}164\\ \mathrm{s},\\\ 15{,}492\\ \mathrm{m/s}),\\\ &(7{,}099\\ \mathrm{s},\\\ 15{,}492\\ \mathrm{m/s}),\\\ &(9{,}101\\ \mathrm{s},\\\ 14{,}491\\ \mathrm{m/s}). \end{aligned}
  1. Gráfico aceleração a(t) — função por trechos (é um degrau):
a(t)=\begin{cases} 3\\ \mathrm{m/s^2}, & 0\le t < t_1,\\[4pt] 0\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1\le t < t_1+t_2,\\[4pt] -0{,}5\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1+t_2\le t \le t_{100}. \end{cases}
No gráfico, desenhe um retângulo em a=3\] até \(t_1, depois salto para a=0 até t_1+t_2, depois salto para a=-0{,}5 até t_{100}. Marcar as abscissas t=0,\\ t=t_1,\\ t=t_1+t_2,\\ t=t_{100} correspondendo aos 0,\;40,\;70,\;100\\ \mathrm{m} e anotar os valores numéricos 3,\\\ 0,\\\ -0{,}5 nas respectivas alturas.]

Passo 8

  • No gráfico s(t): trace primeiro o ramo quadrático 1{,}5 t^2 até t=5{,}164 (chega em 40). Em seguida desenhe uma reta quase horizontal (pendente \approx 15{,}49) até t\approx 7{,}099 (chega em 70). Depois desenhe um ramo quadrático levemente curvado para baixo que termina em s=100 no tempo t\approx 9{,}101.
  • No gráfico v(t): é uma rampa (reta) subindo de 0 a 15{,}492 em 5{,}164\\ \mathrm{s}, depois uma linha horizontal até 7{,}099\\ \mathrm{s}, depois uma reta decrescente até 14{,}491 em 9{,}101\\ \mathrm{s}.
  • No gráfico a(t): degrau 3 \rightarrow 0 \rightarrow -0{,}5, com as abscissas marcadas nos instantes correspondentes.
Força aí — com as fórmulas e os números explícitos fica fácil plotar certinho em papel ou num programa.

Resposta

a) Tabela de tempos e velocidades:
0 m: [t=0{,}000\ \mathrm{s},\ v=0{,}000\ \mathrm{m/s})
40 m: t=\sqrt{\dfrac{80}{3}}\approx 5{,}164\\ \mathrm{s},\\ v=\sqrt{240}\approx 15{,}492\\ \mathrm{m/s}
70 m: t=\sqrt{\dfrac{80}{3}}+\dfrac{30}{\sqrt{240}}\approx 7{,}099\\ \mathrm{s},\\ v\approx 15{,}492\\ \mathrm{m/s}
100 m: t\approx 9{,}101\\ \mathrm{s},\\ v=\sqrt{210}\approx 14{,}491\\ \mathrm{m/s}
b) Fórmulas para os gráficos (marcar nesses instantes os pontos numéricos acima):
s(t):
\begin{cases} s(t)=1{,}5\,t^2, & 0\le t\le t_1,\\[4pt] s(t)=40 + \sqrt{240}\,(t-t_1), & t_1\le t\le t_1+t_2,\\[4pt] s(t)=70 + \sqrt{240}\,(t-(t_1+t_2)) - \tfrac{1}{4}(t-(t_1+t_2))^2, & t_1+t_2\le t\le t_{100}, \end{cases}
com com t_1=\sqrt{80/3}\], \[t_2=30/\sqrt{240}, t_3=2(\sqrt{240}-\sqrt{210}), t_{100}=t_1+t_2+t_3.
v(t):
\begin{cases} v(t)=3t, & 0\le t\le t_1,\\[4pt] v(t)=\sqrt{240}, & t_1\le t\le t_1+t_2,\\[4pt] v(t)=\sqrt{240} - 0{,}5\,(t-(t_1+t_2)), & t_1+t_2\le t\le t_{100}. \end{cases}
a(t):
a(t)=\begin{cases} 3\\ \mathrm{m/s^2}, & 0\le t < t_1,\\[4pt] 0\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1\le t < t_1+t_2,\\[4pt] -0{,}5\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1+t_2\le t \le t_{100}. \end{cases}
Nos gráficos, marque os pontos:
(0{,}000\\ \mathrm{s},0\\ \mathrm{m})\], \((5{,}164\\ \mathrm{s},40\\ \mathrm{m}), (7{,}099\\ \mathrm{s},70\\ \mathrm{m}), (9{,}101\\ \mathrm{s},100\\ \mathrm{m}) para s(t); e os correspondentes para v(t) e a(t) conforme listado.]

Exercícios relacionados