[ \mathbf{2 , 5} pontos] Durante uma corrida de 100 m rasos, uma atleta sai do repouso com aceleração constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} nos primeiros 40 m , depois mantêm velocidade constante até os 70 m e depois tem aceleração constante de -0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} até a chegada.
a) Faça uma tabela com os valores de tempo e velocidade da atleta nas posições 0,40,70 \mathrm{e} 100 \mathrm{~m}.
b) Faça 3 gráficos: posição, velocidade e aceleração versus tempo. Nestes gráficos, indique os valores numéricos correspondentes nas posições 0,40,70 e 100 m .
Passo 1
O enunciado descreve uma corrida de 100\\ \mathrm{m} com três trechos seqüenciais:
Trecho 1: dos 0 até 40\\ \mathrm{m}, a atleta parte do repouso com aceleração constante a_1=3\\ \mathrm{m/s^2}.
Trecho 2: dos 40 até 70\\ \mathrm{m}, a atleta mantém velocidade constante (aquele valor obtido ao final do trecho 1).
Trecho 3: dos 70 até 100\\ \mathrm{m}, aceleração constante a_3=-0{,}5\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o exercício pede:
a) Fazer uma tabela com os valores de tempo e velocidade da atleta nas posições 0,\;40,\;70 e 100\\ \mathrm{m}.
b) Fazer os três gráficos: posição s versus tempo t, velocidade v versus t e aceleração a versus t. Nestes gráficos, indicar numericamente os valores correspondentes nas posições 0,\;40,\;70 e 100\\ \mathrm{m}.
A velocidade em 70\\ \mathrm{m} continua sendo v_1\approx 15{,}491933\\ \mathrm{m/s}.
Passo 5
Neste trecho a velocidade inicial é v_i=v_1=\sqrt{240} e precisamos do tempo t_3 gasto para percorrer s_3=30\\ \mathrm{m} sob aceleração a_3=-0{,}5. Use
Gráfico aceleração a(t) — função por trechos (é um degrau):
a(t)=\begin{cases} 3\\ \mathrm{m/s^2}, & 0\le t < t_1,\\[4pt] 0\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1\le t < t_1+t_2,\\[4pt] -0{,}5\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1+t_2\le t \le t_{100}. \end{cases}
No gráfico, desenhe um retângulo em a=3\] até \(t_1, depois salto para a=0 até t_1+t_2, depois salto para a=-0{,}5 até t_{100}. Marcar as abscissas t=0,\\ t=t_1,\\ t=t_1+t_2,\\ t=t_{100} correspondendo aos 0,\;40,\;70,\;100\\ \mathrm{m} e anotar os valores numéricos 3,\\\ 0,\\\ -0{,}5 nas respectivas alturas.]
Passo 8
No gráfico s(t): trace primeiro o ramo quadrático 1{,}5 t^2 até t=5{,}164 (chega em 40). Em seguida desenhe uma reta quase horizontal (pendente \approx 15{,}49) até t\approx 7{,}099 (chega em 70). Depois desenhe um ramo quadrático levemente curvado para baixo que termina em s=100 no tempo t\approx 9{,}101.
No gráfico v(t): é uma rampa (reta) subindo de 0 a 15{,}492 em 5{,}164\\ \mathrm{s}, depois uma linha horizontal até 7{,}099\\ \mathrm{s}, depois uma reta decrescente até 14{,}491 em 9{,}101\\ \mathrm{s}.
No gráfico a(t): degrau 3 \rightarrow 0 \rightarrow -0{,}5, com as abscissas marcadas nos instantes correspondentes.
Força aí — com as fórmulas e os números explícitos fica fácil plotar certinho em papel ou num programa.
a(t)=\begin{cases} 3\\ \mathrm{m/s^2}, & 0\le t < t_1,\\[4pt] 0\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1\le t < t_1+t_2,\\[4pt] -0{,}5\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1+t_2\le t \le t_{100}. \end{cases}
Nos gráficos, marque os pontos: (0{,}000\\ \mathrm{s},0\\ \mathrm{m})\], \((5{,}164\\ \mathrm{s},40\\ \mathrm{m}), (7{,}099\\ \mathrm{s},70\\ \mathrm{m}), (9{,}101\\ \mathrm{s},100\\ \mathrm{m}) para s(t); e os correspondentes para v(t) e a(t) conforme listado.]