Encontre o Jacobiano da transformação:
x=\frac{u v}{v}, y=\frac{u}{v}.

Passo 1

O enunciado pede o Jacobiano da transformação
x = \frac{u\,v}{v}, \qquad y = \frac{u}{v},
que é o determinante da matriz das derivadas parciais \bigl(\partial(x,y)/\partial(u,v)\bigr). Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais e determinante de matriz 2\times2.

Passo 2

Primeiro notamos que, para v\neq0,
x = \frac{u\,v}{v} = u, \qquad y = \frac{u}{v}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial y}{\partial u} = \frac{1}{v}, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{u}{v^2}.

Passo 4

A matriz Jacobiana fica
J = \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \\[6pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] \displaystyle \frac{1}{v} & \displaystyle -\frac{u}{v^2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

O Jacobiano é o determinante dessa matriz:
\det(J) = 1 \cdot \Bigl(-\frac{u}{v^2}\Bigr) - 0 \cdot \frac{1}{v} = -\frac{u}{v^2}.

Resposta

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -\frac{u}{v^2}.

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