[2 Pontos] Se
é tal que
(a) [1.5 Pontos] Calcule
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(b) [0,5 Pontos] Explique por que nào é possivel calcular
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(b) [0,5 Pontos] Explique por que nào é possivel calcular
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão. Temos uma função $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ com duas desigualdades envolvendo $ g(x) $:
O conteúdo que vamos usar aqui é de limites, especificamente para encontrar o limite da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 e de $ +\infty $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar a regra do sanduíche (também conhecida como teorema do confronto).
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) da questão: calcular $ \lim_{x \rightarrow 1} g(x) $.
Como $ g(x) $ está “presa” entre duas funções, podemos usar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite em um certo ponto, então ela também tem esse limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite das duas funções que envolvem $ g(x) $ quando $ x $ tende a 1.
Primeiro, a função da esquerda:
Podemos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, calculando o limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função da direita:
Percebemos que $ x^{2} - 1 $ pode ser fatorado:
Então, a expressão simplifica para:
Agora, calculando o limite:
Passo 5
Agora que temos os limites das duas funções que envolvem $ g(x) $ e ambos são iguais a 2 quando $ x $ tende a 1, pelo Teorema do Sanduíche, podemos concluir que:
Passo 6
Vamos para a parte (b): explicar por que não é possível calcular $ \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) $.
Observamos que, para encontrar esse limite, precisaríamos dos limites das duas funções que envolvem $ g(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $.
Passo 7
Vamos analisar os limites das funções externas quando $ x $ tende a $ +\infty $:
Primeira função:
Dominando os termos de maior grau no numerador e denominador, temos:
Segunda função:
Novamente, dominando os termos:
Passo 8
Vemos que quando $ x $ tende a $ +\infty $, a função da esquerda tende a $ -\infty $ e a da direita tende a $ +\infty $. Isso significa que $ g(x) $ está “presa” entre $ -\infty $ e $ +\infty $, o que não nos dá informação suficiente para determinar um limite específico.
Portanto, não é possível calcular $ \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) $ porque os limites das funções que “sanduicheiam” $ g(x) $ divergem para infinitos opostos.
Resposta
(a) $ \lim_{x \rightarrow 1} g(x) = 2 $
(b) Não é possível calcular $ \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) $ porque as funções que limitam $ g(x) $ tendem a $ -\infty $ e $ +\infty $, respectivamente, não permitindo determinar um limite específico.