[2 Pontos] Se g: R R é tal que
-x^3+4 x^2-3 xx-1 <= g(x) <= x^2-1x-1
(a) [1.5 Pontos] Calcule lim z 1 g(x).
(b) [0,5 Pontos] Explique por que nào é possivel calcular lim x +infty g(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão. Temos uma função $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ com duas desigualdades envolvendo $ g(x) $:
g: R R
O conteúdo que vamos usar aqui é de limites, especificamente para encontrar o limite da função $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 e de $ +\infty $. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar a regra do sanduíche (também conhecida como teorema do confronto).

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) da questão: calcular $ \lim_{x \rightarrow 1} g(x) $.
Como $ g(x) $ está “presa” entre duas funções, podemos usar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite em um certo ponto, então ela também tem esse limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite das duas funções que envolvem $ g(x) $ quando $ x $ tende a 1.
Primeiro, a função da esquerda:
g(x)
Podemos simplificar o numerador:
x
Então, a expressão fica:
limx 1 -x^3+4 x^2-3 xx-1
Agora, calculando o limite:
-x^3 + 4x^2 - 3x = -x(x^2 - 4x + 3) = -x(x-1)(x-3)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função da direita:
limx 1 x^2-1x-1
Percebemos que $ x^{2} - 1 $ pode ser fatorado:
x^2 - 1
Então, a expressão simplifica para:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Agora, calculando o limite:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1

Passo 5

Agora que temos os limites das duas funções que envolvem $ g(x) $ e ambos são iguais a 2 quando $ x $ tende a 1, pelo Teorema do Sanduíche, podemos concluir que:
g(x)

Passo 6

Vamos para a parte (b): explicar por que não é possível calcular $ \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) $.
Observamos que, para encontrar esse limite, precisaríamos dos limites das duas funções que envolvem $ g(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $.

Passo 7

Vamos analisar os limites das funções externas quando $ x $ tende a $ +\infty $:
Primeira função:
x
Dominando os termos de maior grau no numerador e denominador, temos:
+infty
Segunda função:
limx +infty -x^3+4 x^2-3 xx-1
Novamente, dominando os termos:
limx +infty -x^3x = limx +infty -x^2 = -infty

Passo 8

Vemos que quando $ x $ tende a $ +\infty $, a função da esquerda tende a $ -\infty $ e a da direita tende a $ +\infty $. Isso significa que $ g(x) $ está “presa” entre $ -\infty $ e $ +\infty $, o que não nos dá informação suficiente para determinar um limite específico.
Portanto, não é possível calcular $ \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) $ porque os limites das funções que “sanduicheiam” $ g(x) $ divergem para infinitos opostos.

Resposta

(a) $ \lim_{x \rightarrow 1} g(x) = 2 $
(b) Não é possível calcular $ \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) $ porque as funções que limitam $ g(x) $ tendem a $ -\infty $ e $ +\infty $, respectivamente, não permitindo determinar um limite específico.

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