Questão 5

Calcule a seguinte integral:
integral raiza^2-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a seguinte integral:
integral raiza^2-x^2 , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções quadráticas, e para resolver isso, vamos usar um método chamado substituição trigonométrica. Isso vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada para algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos reconhecer que $ a^{2} - x^{2} $ se parece com a identidade trigonométrica $ 1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta $. Então, fazemos:
a^2 - x^2
Isso significa que:
1 - sin^2theta = cos^2theta

Passo 3

Agora, substituímos $ x $ e $ dx $ na integral original:
x
Simplificando a expressão dentro da raiz:
dx
Então, a integral fica:
integral raiza^2 - x^2 , dx = integral raiza^2 - a^2sin^2theta cdot a costheta , dtheta

Passo 4

Agora, precisamos integrar $ \cos^{2}\theta $. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta
Então, a integral fica:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Integrando termo a termo:
a^2 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = a^22 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que fizemos a substituição $ x = a \sin\theta $, então:
x
E $ \sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta $. Sabemos que $ \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{a}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a} $.
Substituindo de volta:
x = a sintheta
Simplificando:
theta = arcsin(xa)

Resposta

A integral de $ \sqrt{a{2}-x{2}} , dx $ é:
raiza^2-x^2 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

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