Questão 5
Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a seguinte integral:
Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções quadráticas, e para resolver isso, vamos usar um método chamado substituição trigonométrica. Isso vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada para algo mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos reconhecer que $ a^{2} - x^{2} $ se parece com a identidade trigonométrica $ 1 - \sin^{2}\theta = \cos^{2}\theta $. Então, fazemos:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, substituímos $ x $ e $ dx $ na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos integrar $ \cos^{2}\theta $. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que fizemos a substituição $ x = a \sin\theta $, então:
E $ \sin(2\theta) = 2 \sin\theta \cos\theta $. Sabemos que $ \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{a}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a} $.
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral de $ \sqrt{a{2}-x{2}} , dx $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração.