Dada a função .
A função
é diferenciável no ponto
? Justifique sua resposta.
A função
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por partes e pergunta se ela é diferenciável em
. Vamos usar que diferenciabilidade implica continuidade e, portanto, estudar a existência do limite de
em
.
Passo 2
Para verificar a continuidade de
em
, consideramos a trajetória
. Substituindo na definição de
para
temos:
Passo 3
Passo 4
O limite de
quando
é
, diferente de
. Logo
não é contínua em
e, consequentemente, não pode ser diferenciável ali.
Resposta
A função não é diferenciável em (0,0), pois não é contínua nesse ponto (o limite ao longo de y=x é 1/2 ≠ 0).