Dada a função .
A função f(x, y)=ccx^2 y^2x^4+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é diferenciável no ponto f? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y) definida por partes e pergunta se ela é diferenciável em (0,0). Vamos usar que diferenciabilidade implica continuidade e, portanto, estudar a existência do limite de f(x,y) em (0,0).

Passo 2

Para verificar a continuidade de f em (0,0), consideramos a trajetória y=x. Substituindo na definição de f para (x,y)neq(0,0) temos:

Passo 3

f(x,x)=x^2,x^2x^4+x^4=x^42x^4=12(xneq0)

Passo 4

O limite de f(x,x) quando xto0 é 1/2, diferente de f(0,0)=0. Logo f não é contínua em (0,0) e, consequentemente, não pode ser diferenciável ali.

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0), pois não é contínua nesse ponto (o limite ao longo de y=x é 1/2 ≠ 0).

Exercícios relacionados