[2,5 pontos] (4) Use integral tripla para calcular o volume do sólido
delimitado pelo cone
e pela semiesfera
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido E limitado pelo cone
e pela semiesfera
. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas cilíndricas e integral tripla para encontrar esse volume.
Passo 2
Na coordenadas cilíndricas usamos
,
e
. O cone vira
e a semiesfera vira
. Igualando para achar a curva de interseção:
Passo 3
O volume em cilíndricas é
Integramos em
Passo 4
Calculando cada uma:
Passo 5
Substituindo em
:
$$V=2\pi\Bigl(9-\frac{27\sqrt3}{8}-\sqrt3\cdot\frac{9}{8}\Bigr)=2\pi\Bigl(9-\frac{36\sqrt3}{8}\Bigr)=9\pi\bigl(2-\sqrt3\bigr).
$$