[2,5 pontos] (4) Use integral tripla para calcular o volume do sólido E delimitado pelo cone z=raiz3 x^2+3 y^2 e pela semiesfera z=raiz9-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E limitado pelo cone z=raiz3x^2+3y^2 e pela semiesfera z=raiz9-x^2-y^2. Vamos usar o conteúdo de integração em coordenadas cilíndricas e integral tripla para encontrar esse volume.

Passo 2

Na coordenadas cilíndricas usamos x=rcostheta, y=rsintheta e z=z. O cone vira z=raiz3,r e a semiesfera vira z=raiz9-r^2. Igualando para achar a curva de interseção:
raiz3,r=raiz9-r^2Rightarrow4r^2=9Rightarrow r=32

Passo 3

O volume em cilíndricas é
V=integral0^2piintegral0^3/2integralz=raiz3,r^z=raiz9-r^2r,dz,dr,dtheta
Integramos em z primeiro:
V=2piintegral0^3/2rl(raiz9-r^2-raiz3,rr)dr=2pil(I1-raiz3,I2r), onde
I1=integral0^3/2rraiz9-r^2,dr, I2=integral0^3/2r^2,dr

Passo 4

Calculando cada uma:
I1=13l[9^3/2-(tfrac274)^3/2r]=9-27raiz38, I2=13l(278r)=98

Passo 5

Substituindo em V:
$$V=2\pi\Bigl(9-\frac{27\sqrt3}{8}-\sqrt3\cdot\frac{9}{8}\Bigr)=2\pi\Bigl(9-\frac{36\sqrt3}{8}\Bigr)=9\pi\bigl(2-\sqrt3\bigr).
$$

Resposta

9pi(2-raiz3)

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