[2,5 pontos] (2) Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito na esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para achar as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume inscrito na esfera
. O conteúdo principal é o método de multiplicadores de Lagrange, que vamos usar para otimizar o volume sujeito à restrição dada pela equação da esfera.
Passo 2
Para modelar o problema, seja
as semi-arestas do paralelepípedo, de modo que seus vértices sejam
. O volume é dado por
e a restrição é
Formamos o Lagrangiano
e igualamos as derivadas parciais a zero:
Passo 3
As condições de otimalidade são
e a própria restrição
.
Simplificando cada uma das três primeiras equações, obtemos
Simplificando cada uma das três primeiras equações, obtemos
Dividindo-as em pares, vemos que
(tomando todas as variáveis positivas).
Passo 4
Substituindo
em
dá
Logo as semi-arestas são
e as dimensões completas do paralelepípedo são
Resposta
As dimensões do paralelepípedo de maior volume são 2 por 2 por 2.