[2,5 pontos] (2) Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume que pode ser inscrito na esfera x^2+y^2+z^2=3.

Passo 1

O enunciado pede para achar as dimensões de um paralelepípedo retangular de maior volume inscrito na esfera x^2+y^2+z^2=3. O conteúdo principal é o método de multiplicadores de Lagrange, que vamos usar para otimizar o volume sujeito à restrição dada pela equação da esfera.

Passo 2

Para modelar o problema, seja x,y,z as semi-arestas do paralelepípedo, de modo que seus vértices sejam (pm x,pm y,pm z). O volume é dado por
V(x,y,z)=8,x,y,z
e a restrição é
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-3=0
Formamos o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda)=8xyz-lambda(x^2+y^2+z^2-3)
e igualamos as derivadas parciais a zero:

Passo 3

As condições de otimalidade são
partial Lpartial x=8yz-2lambda x=0,
partial Lpartial y=8xz-2lambda y=0,
partial Lpartial z=8xy-2lambda z=0,
e a própria restrição x^2+y^2+z^2=3.
Simplificando cada uma das três primeiras equações, obtemos
4yz=lambda x, 4xz=lambda y, 4xy=lambda z
Dividindo-as em pares, vemos que x=y=z (tomando todas as variáveis positivas).

Passo 4

Substituindo x=y=z em x^2+y^2+z^2=3
3x^2=3Rightarrow x^2=1Rightarrow x=1
Logo as semi-arestas são x=y=z=1 e as dimensões completas do paralelepípedo são
2x=2, 2y=2, 2z=2

Resposta

As dimensões do paralelepípedo de maior volume são 2 por 2 por 2.

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