Usando a(s) regra(s) apropriada(s) calcule as derivadas das funções abaixo:
(d) f(x)=(5 x^2+2 x^5)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta f(x) = l(5x^2 + 2x^5r)^2. O conteúdo envolve derivada de função composta (regra da cadeia), além da regra da soma e do poder.

Passo 2

Identificamos a função interna u(x) = 5x^2 + 2x^5 e a função externa g(u) = u^2. Pela regra da cadeia,
f'(x) = g'(u(x)) cdot u'(x) = 2,u(x) cdot u'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Aplicando a regra do poder termo a termo,
u'(x) = ddx(5x^2) + ddx(2x^5) = 10x + 10x^4

Passo 4

Substituímos u(x) e u'(x) na expressão da derivada e simplificamos. Primeiro,
f'(x) = 2l(5x^2 + 2x^5r)l(10x + 10x^4r)

Passo 5

Fatorando 10x em 10x + 10x^4:
10x + 10x^4 = 10x(1 + x^3), segue que
f'(x) = 2l(5x^2 + 2x^5r)cdot 10x(1 + x^3) = 20xl(5x^2 + 2x^5r)(1 + x^3)

Resposta

f'(x) = 20x(5x^2 + 2x^5)(1 + x^3)

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