Calcule as seguintes integrais indefinidas:
18a
integral sen(3 x) cos (2 x) d x.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral integralsin(3x)cos(2x),dx. O conteúdo aqui é integração de produtos trigonométricos, e vamos precisar usar uma identidade de soma de ângulos para reescrever o integrando de forma mais simples.

Passo 2

A identidade fundamental é
sin Acos B = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
Vamos aplicar com A=3x e B=2x:
sin(3x)cos(2x) = tfrac12l[sin(5x)+sin(x)r]

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integralsin(3x)cos(2x),dx = tfrac12integrall[sin(5x)+sin(x)r],dx
Agora basta integrar termo a termo, lembrando que
integralsin(kx),dx = -1kcos(kx) + C

Passo 4

Integrando cada parte:
integralsin(5x),dx = -tfrac15cos(5x), integralsin(x),dx = -cos(x)
Logo,
tfrac12integrall[sin(5x)+sin(x)r],dx = tfrac12l(-tfrac15cos(5x) - cos(x)r) + C
Simplificando, ficamos com

Passo 5

A forma final da integral é
-tfrac110cos(5x) ;-; tfrac12cos(x) ;+; C

Resposta

-\frac{1}{10}\cos(5x) - \frac{1}{2}\cos(x) + C

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